معاونت پژوهش و فن آوري
دانشگاه آزاد اسلامی
واحد جاسب
دانشکده فنی مهندسی
پایان نامه برای دریافت درجه کارشناسی ارشد در رشته مکانیک
گرایش طراحی کاربردی
عنوان
تحلیل کمانش نانوصفحات کامپوزیتی چندلایه گرفن قرار گرفته بر روی بستر الاستیک بوسیله ی تئوری غیرمحلی و روش DQ
استاد راهنما
دکتر حامد عدالتی
استاد مشاور
نگارنده
پیام شکرالهی
بهمن 1394
معاونت پژوهش و فن‌آوری
به نام خدا
منشور اخلاق پژوهش
با ياري از خداوند سبحان و اعتقاد به اين كه عالم محضر خداست و همواره ناظر بر اعمال انسان و به‌منظور پاس داشت مقام بلند دانش و پژوهش و نظر به اهميت جايگاه دانشگاه در اعتلاي فرهنگ و تمدن بشري، ما دانشجويان و اعضاء هيئت علمي واحدهاي دانشگاه آزاد اسلامي متعهد می‌گردیم اصول زير را در انجام فعالیت‌های پژوهشي مد نظر قرار داده و از آن تخطي نكنيم:
1- اصل حقيقت جويي: تلاش در راستاي پي جويي حقيقت و وفاداري به آن و دوري از هرگونه پنهان سازي حقيقت.
2- اصل رعايت حقوق: التزام به رعايت كامل حقوق پژوهشگران و پژوهيدگان (انسن،حيوان ونبات) و ساير صاحبان حق.
3- اصل مالكيت مادي و معنوي: تعهد به رعايت كامل حقوق مادي و معنوي دانشگاه و كليه همكاران پژوهش.
4- اصل منافع ملي: تعهد به رعايت مصالح ملي و در نظر داشتن پيشبرد و توسعه كشور در كليه مراحل پژوهش.
5- اصل رعايت انصاف و امانت: تعهد به اجتناب از هرگونه جانب داري غير علمي و حفاظت از اموال، تجهيزات و منابع در اختيار.
6- اصل رازداري: تعهد به صيانت از اسرار و اطلاعات محرمانه افراد، سازمان‌ها و كشور و كليه افراد و نهادهاي مرتبط با تحقيق.
7- اصل احترام: تعهد به رعايت حریم‌ها و حرمت‌ها در انجام تحقيقات و رعايت جانب نقد و خودداري از هرگونه حرمت شكني.
8- اصل ترويج: تعهد به رواج دانش و اشاعه نتايج تحقيقات و انتقال آن به همكاران علمي و دانشجويان به غير از مواردي كه منع قانوني دارد.
9- اصل برائت: التزام به برائت جويي از هرگونه رفتار غیرحرفه‌ای و اعلام موضع نسبت به كساني كه حوزه علم و پژوهش را به شائبه‌های غيرعلمي می‌آلایند.
امضاء دانشجو
تعهدنامه اصالت رساله یا پایان نامه
اینجانب پیام شکرالهی دانش آموخته مقطع کارشناسی ارشد نا پیوسته
در رشته مکانیک که در تاریخ 21/11/93 از پایان نامه/رساله خود تحت عنوان:
تحلیل کمانش نانوصفحات کامپوزیتی چندلایه گرفن قرار گرفته بر روی بستر الاستیک بوسیله ی تئوری غیرمحلی و روش DQ
با کسب نمره و درجه دفاع نموده‌ام بدینوسیله متعهد می‌شوم:
1)این پایان نامه/رساله حاصل تحقیق و پژوهش انجام شده توسط اینجانب بوده و در مواردی که از دستاوردهای علمی و پژوهشی دیگران(اعم از پایان نامه،کتاب،مقاله و …)استفاده نموده‌ام،مطابق ضوابط و رویه موجود،نام منبع مورداستفاده و سایر مشخصات آن را در فهرست مربوطه ذکر و درج کرده‌ام.
2)این پایان نامه/رساله قبلاً برای دریافت هیچ مدرک تحصیلی (هم سطح،پایین‌تر یا بالاتر) در سایر دانشگاه‌ها و مؤسسات آموزش عالی ارائه نشده است.
3)چنانچه بعد از فراغت از تحصیل ،قصد استفاده و هرگونه بهره‌برداری اعم از چاپ کتاب،ثبت اختراع و … از این پایان نامه داشته باشم/فاز حوزه معاونت پژوهشی واحد مجوزهای مربوطه را اخذ نمایم.
4)چنانچه در هر مقطعی زمانی خلاف موارد فوق ثابت شود،عواقب ناشی از آن را می‌پذیرم و واحد دانشگاهی مجاز است با اینجانب مطابق ضوابط و مقررات رفتار نموده و در صورت ابطال مدرک تحصیلی‌ام هیچگونه ادعایی نخواهم داشت
نام و نام خانوادگی: پیام شکرالهی
تاریخ و امضاء
صورت جلسه دفاع
با تاییدات خداوند متعال جلسه دفاع از پایان نامه کارشناسی ارشد آقای در رشته
تحت عنوان:
با حضور استاد راهنما، استاد(استادان) مشاور و هیأت داوران در دانشــگاه آزاد اســـلامی واحد جــــاسب
در تاریختشکیل گردید.در این جلسه، پایان نامه با موفقیت مورد دفاع قرار گرفت.
نامبرده نمره با امتیاز دریافت نمود.
استاد راهنما : امضاء تاریخ
استاد مشاور: امضاء تاریخ
استاد داور اول: امضاء تاریخ
استاد داور دوم: امضاء تاریخ
مدیر گروه آموزشی : امضاء تاریخ
رئیس اداره پژوهش و فناوری دانشگاه آزاد اسلامی جاسب
امضاء
تقدیم به
پدرومادرمهربان و همسر عزیزم
با تشکر و سپاس بسیار از زحمات فراوان استاد گرانمایه و ارجمند جناب آقای دکتر حامد عدالتی که علیرغم مشغله کاری فراوانشان همواره بنده را در تهیه این پایان نامه همراهی نمودند.
فهرست مطالب
چکیده : ……………………………………………………………………………………………………………….1
1.فصل اول:کلیات تحقیق2
1-1-مقدمه…………………………………………………………………………………………………………………………..2
1-2-سیستم های میکرو/نانوالکترومکانیکی4
1-3-اهداف پژوهش و روند انجام پروژه5
2.فصل دوم :ادبیات تحقیق…..8
2-1-مباحث نظری8
2-2-روش های مختلف مدلسازی در مقیاس های مختلف8
2-2-1- روش مدل سازی اتمی8
2-2-2- روش های چند مقیاسی9
2-2-3- روش اتمی ـ پیوسته9
2-2-4- مکانیک کوانتومی11
2-2-5- دینامیک مولکولی12
2-2-6- روش مونت کارلو12
2-2-7- دینامیک نابجایی13
2-2-8- روش مکانیک مولکولی13
2-2-9- تئوری های مرتبه بالای محیط پیوسته14
2-2-9-1-تئوری کسرات و نظریه تنش های تزویجی………………………………………………………………………..16
2-3-الاستیسیته ی غیرموضعی18
2-4-معرفی تئوری های ورق21
2-5-تئوری کلاسیک ورق22
2-6-تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول23
2-7-تئوری مرتبه سوم برشی23
2-8-ساختارهای نانو24
2-9-نانولوله های کربنی را به پنج دسته می‌توان تقسیم کرد.24
2-10-محیط الاستیک26
2-11-پیشینه ی پژوهش27
2-12- جمع بندی فصل دوم …………………………………………………………………………………………………..31
3.فصل سوم:روابط وفرمول ها32
3-1-مدلسازی نانو صفحه و ارائه راه حل عددی32
3-2-تئوری الاستیسیته ی غیرموضعی32
3-3-استخراج معادلات حرکت35
3-4-حل تحلیلی51
3-5-حل عددی52
3-5-1- روش عددی GDQ52
3-5-1-1 تعیین مختصات گره ها ……………………………………………………………………………………………………….55
3-5-1-2 تعیین ضرایب وزنی ………………………………………………………………………………….56
4.فصل چهارم::شبیه سازی نتایج59
4-1-نتایج عددی59
4-2-صحت سنجی61
4-3-کمانش نانو صفحه63
4-3-1- تاثیر ابعاد صفحه بر نیروی کمانش64
4-3-2- تاثیر پارامتر ابعادی وشرایط مرزی بر روی نیروی کمانش67
4-4-تاثیر پارامتر ابعادی بر روی مودهای مختلف68
4-4-1- تاثیر مدول وینکلر بر نیروی کمانش70
4-4-2- بررسی اثر ضریب وینکلر بر روی مودهای مختلف72
4-5-تاثیر ضریب وینکلر بر نیروی کمانش برای طول های مختلف73
4-5-1- تاثیر ضریب برشی پسترناک بر روی نیروی کمانش75
4-5-2- تاثیر ضریب برشی پسترناک بر مودهای مختلف نیروی کمانشی75
5.فصل پنجم: نتیجه گیری و پیشنهادات77
5-1-پیشنهاد پژوهش های آتی78
6.منابع80
فهرست شکل ها
شکل ‏11- نمونه ای از یک میکروگریپر با کاربرد زیست سلولی5
شکل ‏21 مدل دو مقیاسی اتمی و محیط پیوسته10
شکل ‏22 مقیاس های مورد استفاده در روش های چند مقیاسی11
شکل ‏23 نانو لوله ی کربنی مش زده شده با المان های تیر تحت بارگذاری14
شکل ‏24 میدان جابجایی در تئوری مرتبه اول برشی22
شکل ‏25 ساختار نانو24
شکل ‏26 به ترتیب از بالا به پایین Armchair, Zigzag and Chiral25
شکل ‏27 محیط الاستیک پسترناک و وینکلر27
شکل ‏31 شبکه بندی با فواصل نامساوی56
شکل ‏41 نمودار خطای کمانشی بر حسب تعداد نقاط و همگرایی روش مربعات تفاضلی61
شکل ‏42 تاثیر نسبت صفحه بر نسبت نیروی کمانش برای تکیه گاه های مختلف65
شکل ‏43 تاثیر طول صفحه بر نسبت نیروی کمانش برای پارامترهای ابعادی مختلف66
شکل ‏44 تاثیر طول صفحه بر نسبت نیروی کمانش برای مودهای مختلف66
شکل ‏45 تاثیر طول صفحه بر نیروی کمانش بدون بعد برای مودهای مختلف67
شکل ‏46 تاثیر پارامتر ابعادی بر نسبت نیروی کمانش برای شرایط مرزی مختلف68
شکل ‏47 تاثیر پارامتر ابعادی بر نسبت نیروی کمانش برای مودهای مختلف69
شکل ‏48 تاثیر پارامتر ابعادی بر نسبت نیروی کمانش برای مودهای مختلف69
شکل ‏49 تاثیر پارامتر ابعادی بر نسبت نیروی کمانش برای طول های مختلف70
شکل ‏410 تاثیر مدول وینکلر بر نسبت نیروی کمانش برای پارامترهای ابعادی مختلف71
شکل ‏411 تاثیر مدول وینکلر بر نسبت نیروی کمانش برای شرایط مرزی مختلف72
شکل ‏412 تاثیر مدول وینکلر بر نسبت نیروی کمانش برای مودهای مختلف73
شکل ‏413 تاثیر مدول وینکلر بر نیروی کمانش بدون بعد برای شرایط مرزی مختلف73
شکل ‏414 تاثیر مدول وینکلر بر نیروی کمانش بدون بعد برای نسبت های L1/h مختلف74
شکل ‏415 تاثیر مدول وینکلر بر نسبت نیروی کمانش برای نسبت های L1/h مختلف74
شکل ‏416 تاثیر مدول برشی بستر بر نسبت نیروی کمانش برای پارامتر های ابعادی مختلف75
شکل ‏417 تاثیر مدول برشی بستر بر نسبت نیروی کمانش برای مودهای مختلف76
فهرست جداول
جدول ‏11- کاربرد نانو تکنولوژی در علوم مختلف3
جدول ‏41 پارامترهای مورد استفاده در مسئله60
جدول ‏42 مقایسه ی کمانش بدون بعد برای نانو صفحه با تکیه گاه ساده ،حل تحلیلی و حل عددی62
جدول ‏43 نیروی کمانش بدون بعد برای تئوری های مختلف64
چکیده :
کامپوزیت به دلیل استحکام بالا و وزن کم، در دهه های اخیر بسیار مورد توجه قرار گرفته اند.این گونه مواد می توانند به علت بارگذاری استاتیکی، ضربه، دینامیکی و … تحت شکست قرار بگیرد که شکست های مختلف به وجود آمده باعث افت شدید استحکام در سازه گردند.همواره با پیشرفت علوم مختلف مهندسان به فکر استفاده از مواد مختلف در آن حوزه می افتند. در سال های اخیر با ظهور نانوتکنولوژی مهندسان لزوم استفاده از مواد مختلف را در این حوزه بیشتر احساس کردند. از این رو لازم است بر روی ترکیبات موجود در مقیاس نانو مثل نانو تیوپ های چندلایه، نانوتیرهای چندلایه ی گرفن، گرفن های چندلایه و نانوصفحات چندلایه تحقیقاتی انجام شود. در سال های اخیر تحقیقات زیادی بر روی نانوتیوپ های چندلایه انجام شده است ولی تحقیقات در زمینه ی نانوصفحات کامپوزیتی چندلایه محدود می باشد. در بررسی این نانو مواد در مقیاس نانو تئوری های مختلفی وجود دارد که یکی از این تئوری ها تئوری غیر محلی می باشد. در این تئوری با وارد شدن پارامتر اندازه می توان اثرات ابعاد کوچک در مقیاس نانو را بخوبی بیان کرد. در این پروژه قصد داریم کمانش نانوصفحه ی کامپوزیتی چندلایه ی گرفن را مورد بررسی قرار دهیم. صفحات گرفن را می توان به عنوان صفحات اورتوتروپ در نظر گرفت که خواص آنها در دو جهت طولی و عرضی متفاوت است. بدلیل اینکه معمولا نانوصفحه های گرفن در محیط های الاستیک یافت می شوند، نانوصفحه را بر روی بستر الستیک قرار داده ایم تا اثرات محیط الاستیک را لحاظ کنیم. بدلیل اینکه نانو صفحه ها معمولا در نسبت های طول به ضخامت کوچک استفاده می شوند و در این شرایط اثرات برشی با اهمیت می شوند به همین دلیل از تئوری مرتبه سوم برشی استفاده شده است تا بتوانیم این اثرات را به خوبی لحاظ کنیم. با استفاده از روش کارمجازی معادلات تعادل بدست می آیند که این معادلات تعادل به هم کوپل می باشند و با روش های تحلیلی نمی توان آن را حل کرد به همین منظور لازم است از یک روش عددی برای حل این معادلات بهره جست. یکی از روش های مفید در این زمینه روش مربعات تفاضلی می باشد که علاوه بر دقت بالا سرعت همگرایی بالایی نیز دارد. برای اینکه بتوانیم اثرات چرخش لایه ها و همچنین چینش آن ها را در تئوری غیرموضعی بررسی کنیم تحلیل های عددی مختلف انجام شده است. همچنین تاثیر پارامترهای مختلف مانند ابعاد صفحه، ضخامت، ضریب بستر الاستیک و پارامتر غیرموضعی بر رفتار غیرمحلی نانوصفحه مورد بررسی قرار می گیرد.
عبارات کلیدی:
تئوری غیرمحلی، تئوری مرتبه بالای برشی، اثرات اندازه، روش DQ
فصل اول: کلیات تحقیق
مقدمه
نانو تکنولوژی با مواد مختلف و کاربرد آنها در حوزهایی مانند مهندسی مواد، الکترونیک، کامپیوتر، حسگرها، عملگرها و ماشینها در مقیاس نانو سروکار دارد. اتم و ملکول ها به عنوان آجرهای ساختمانی مواد مهندسی و ابزار های الکترونیکی آینده به حساب می آیند. در مقیاس نانو، بسیاری از حوزه های علوم و تئوری ها با هم ادغام می شوند، زیرا مبنای آنها بر پایه ی اتم و ملکول استوار است. به بیان ساده تر موضوع نانوتکنولوژی، دانش و فناوری بکارگیری مستقیم یا غیر مستقیم اتم ها و ملکول ها در سازه هایی به منظور اجرای ماموریت های خاص می باشد. پیشوند نانو بیانگر یک واحد مقیاس طولی برابر 〖10〗^(-9) متر است که صدها تا هزاران بار کوچکتر از یک سلول زیستی ویا یک باکتری می باشد. در مقیاس نانو ابعاد سازه به 10 یا 100 اتم می رسد و پدیده های فیزیکی و شیمیایی کاملا جدیدی مشاهده می‏شود.به همین جهت یکی از جنبه های جالب و کارا، استفاده از الگوی اتمی مناسب با کارکرد خاص مورد نظر طراح و ساخت ماده ی بر مبنای خواست طراح می باشد. اولین اشاره به امکان علمی و فنی ساخت مواد جدید بر اساس چیدن اتم ها در کنار هم توسط فیزیکدان برنده ی جایزه ی نوبل، ریچارد فینمن1 در سخنرانی اش با موضوع “بی نهایت فضا در انتها” ارائه شد. وی در آن سخنرانی که دراجلاس جامعه ی فیزیکدانان آمریکا در 1959 انجام شد، بیان کرد که در صورتی که توانایی ما در مشاهده آنچه در ابعاد نانو انجام می دهیم و توانایی انجام کارها در مقیاس اتمی توسعه یابد، به مسائل شیمی و بیولوژی می توان کمک بزرگی کرد، توسعه ای که فکر می کنم اجتناب ناپذیر است. محصولات تولیدی عموما از ترکیب اتمی ساخته می شوند و خصوصیت هر یک بستگی به این دارد که اتم های آن چگونه در کنار هم چیده شده اند. اگر ما ترکیب اتم ها را در ذغال سنگ تغییر دهیم می توانیم الماس بسازیم. اگر ترکیب اتم ها را در شن عوض کنیم و اندکی هم از عناصر دیگر در آن استفاده کنیم می‏توانیم تراشه ی رایانه ای بسازیم. روش های تولید امروزی در مقیاس ملکولی در مراحل اولیه ی خود قرار دارند. قالب ریزی، آسیاب کردن، تراشکاری و حتی لیتوگرافی، اتم ها را در دسته های آماری بزرگ جابجا می کند. درست مثل اینکه بلوک های اسباب بازی کودکان را با دست کش های مشت زنی روی هم سوار کنیم. شما تنها میتوانید این بلوک ها را به تعداد زیاد این طرف و آن طرف ببرید و روی هم سوار کنید. اما قادر نخواهید بود آن ها را به هر شکل منظمی که می خواهید درآورید. در آینده، فناوری نانو اجازه خواهند داد که دستکش های مشت زنی را از دست هایمان خارج کنیم. ما قادر خواهیم بود بلوک های ساختمانی طبیعت (اتم ها و ملکول ها) را به صورت تک تک، و به راحتی و به ارزانی در دست گرفته و آن ها را تقریبا به هر شکلی که دوست داشته باشیم کنار هم بچینیم. این موضوع برای اینکه بتوانیم انقلاب در سخت افزار را در دهه ی بعد ادامه دهیم امری اساسی و اصولی به شمار می آید و این امکان را به وجود می آورد که نسل جدیدی از محصولاتی که تمیزتر، قویتر و دقیق تر هستند ساخته شوند. شایان ذکر است که این روزها ، لغت فناوری نو خیلی مورد توجه قرار گرفته است و برای بیان انواع کارهای تحقیقاتی که دارای خصوصیات ابعادی کمتر از یک نانو (یک میلیونیم میلی متر) باشند، بکار می روند. جدول( ‏11) بیان کننده ی کاربرد نانو تکنولوژی در شاخه های مختلف علوم می‏باشد.
جدول ‏11- کاربرد نانو تکنولوژی در علوم مختلف
الفنانو بیو تکنولوژی(دارویی،کشاورزی،پزشکی و …)بنانو مواد(نانوتیوب ها،نانوپودرها،نانو کامپوزیت ها)جنانو تکنولوژی در صنایع نفت و گاز و صنایع شیمیاییدنانو الکترونیکهنانو مهندسی(ساخت در مقیاس نانو، مانند تجهییزات پزشکی)ونانو تکنولوژی در صنایع نظامیزنرم افزار نانوتکنولوژی(شبیه سازی، محاسبات و …)
طیف وسیعی از کمپانی ها و همچنین شرکت های نوپا برای تولید محصولات خاصی بر مبنای فناوری نانو در دنیا تاسیس شده اند و منابع مالی همچنان از سوی دولت ها، بازار سرمایه گذاران به سوی فناوری نانو روان است. این عزم جهانی برای پیشرفت نانو تکنولوژی نشانگر این است که این رویکرد جدید به تکنولوژی ، پتانسیل متحول کردن چهره ی جهان را از همه ی جهات دارا می باشد. سرمایه گذاران بزرگ در جهان به این باور رسیده اند که نانو تکنولوژی می تواند اهداف آن ها را هر چه سریعتر و بهتر بر آورده کند و مردم منتظرند تا هر روز ظهور محصول جدیدی از نانوتکنولوژی را شاهد باشند.
سیستم های میکرو2/نانوالکترومکانیکی3
تکنولوزی های نوظهور سیستم های میکرو الکترومکانیکی، پیشرفت های عظیمی در زمینه ی تست کردن و ساختن وسایل جدید با کاربردهای نوین شاهد بوده است. این واقعیت که آن ها می توانند با استفاده از تکنیک های ساخت موجود و استفاده از زیر ساختارهای صنعت نیمه هادی ها ساخته شوند به این معنی خواهد بود که آنها می توانند با قیمت کم و حجم تجاری زیاد تولید گردند که این باعث جذابیت تجاری این سیستم ها می شود. وزن کم، اندازه ی کوچک، مصرف انرژی کم و پایایی آنها باعث جذابیت بیشتر آنها نیز شده است. وسایل بیشماری از سیستم های میکروالکترومکانیکی را می توان مشاهده نمود که به صورت موفقیت آمیزی در عرصه ی وسیعی از علوم و مهندسی به کار گرفته شده اند. هدپرینتر های جوهرافشان، میکرو پمچ ها و شتاب سنج ها ایبرگ، مثال های اندکی هستند که در آن ها سیستم های میکروالکترومکانیکی با قیمت بسیار ارزانتر جایگزین سیستم های پیشین شده اند. هم اکنون سیستم های میکروالکترومکانیکی فعالانه در حال گسترش برای استفاده در طیف وسیعی از کاربردها هستند. برای مثال در کاربردهای پزشکی، این سیستم ها برای اهداف دیداری و شنیداری، برای تحریک اعصاب و … استفاده می شوند. در سال های اخیر با پیشرفت سریع فناوری نانو و امکان ساخت قطعات در ابعاد نانو سیستم های نانوالکترومکانیکی در کنار سیستم های میکروالکترومکانیکی مطرح شده اند و بسیاری از وسایل که پیش از این در ابعاد میکرو ساخته می شدند امکان ساخت در ابعاد نانو را پیدا کردند. در شکل( ‏11) نمونه ای از این ابزارها دیده می شود.
شکل ‏11- نمونه ای از یک میکروگریپر با کاربرد زیست سلولی
برخلاف آنچه تصور می شود استفاده از میکرو و نانو عملگرها تنها محدود به کاربردهای در مقیاس میکرو نمی شود. در موارد متعددی از مجموعه فعالیت های میکروسکوپی برای ایجاد تاثیرات در مقیاس ماکروسکوپی استفاده شده است. استفاده از مجموعه ی میکرو و نانوعملگرها در سیستم های ماکروسکوپیک معمولا در کاربردهای بیولوژیکی و در سیستم های میکروالکترومکانیکی و نانوالکترومکانیکی صورت می گیرد.
با پیشرفت علم در دنیا و پیدایش تجهیزات الکترونیکی و تحولات عظیمی که در چند دهه ی اخیر و در خلال قرن بیستم به وقوع پیوست نیاز به ساخت حسگرهای دقیق تر، کوچکتر و دارای قابلیتهای بیشتر احساس شد. در سیستم های میکروالکترومکانیکی یا نانو الکترومکانیکی از حسگرهایی با حساسیت بالا استفاده می شود بطوریکه در برابر مقادیر ناچیزی از گاز، گرما و یا تشعشع حساس هستند. بالا بردن درجه ی حساسیت، بهره و دقت این حسگرها به کشف مواد و ابزارهای جدید نیاز دارد. نانو حسگرها حسگرهایی در ابعاد نانو هستند که به خاطر کوچکی ابعاد از دقت و واکنش پذیری بسیار بالایی بهره مند هستند به طوری که حتی نسبت به حظور چند اتم از یک گاز هم عکس العمل نشان می دهند. از جمله ابزار هایی که در ساخت نانو حسگرها استفاده می شود می توان به نانو تیرها و نانو ورق ها اشاره نمود. بنابراین دانش تحلیل و تکنولوژی ساخت این المان های سازه ای از اهمیت بالایی برخوردار است.
اهداف پژوهش و روند انجام پروژه
به دلیل وجود نیروهای بین اتمی و بین مولکولی با کوچک شدن ابعاد سیستم ها و قابل مقایسه شدن این ابعاد با فواصل بین ذرات و پارامترهای شبکه ی بلوری، تئوری های بر پایه ی مکانیک کلاسیک قادر به پیش بینی رفتار این سیستم ها نیستند. دلیل اصلی این امر آن است که تئوری های کلاسیک از اصل پایستگی انرژی موضعی حاصل می گردند حال آنکه وجود نیروهای بین اتمی اجازه ی استفاده از چنین قانونی را به ما نمی دهد و پایستگی انرژی نه به صورت موضعی بلکه در کل جسم مورد بررسی باید نوشته شود.
تئوری های غیرموضعی با در نظر گرفتن این موضوع توانسته اند بسیاری از پدیده های مشاهده شده در ابعاد بسیار کوچک را که توسط تئوری کلاسیک قابل توجیه نبودند پیش بینی کنند. همچنین نتایج حاصل از آنها تطابق خوبی با بسیاری از نتایج آزمایشگاهی دارند.
از آنجا که شناخت معادلات حاکم بر سیستم های میکرو و نانوالکترومکانیکی نقش اساسی در پیش بینی رفتار آنها و تاثیر پارامترهای گوناگون بر عملکرد آنها را دارد و طراحی بهینه ی این سیستم ها بدون چنین شناختی امکان پذیر نمی باشد، استفاده از مدل هایی که به بهترین نحو و با کمترین خطا رفتار این سیستم ها را پیش بینی کنند بسیار ارزشمند خواهد بود.
در این پروژه با استفاده از روش الاستیسیته ی غیر موضعی کمانش صفحه لمینیت گرفن روی بستر الاستیک مورد بررسی قرار گرفته است. به منظور در نظر گرفتن اثرات برشی از تئوری مرتبه سوم برشی که به خوبی اثرات برش را برای صفحه های ضخیم در نظر می گیرد استفاده شده است.
برای بررسی کمانشی صفحه، ابتدا معادلات حرکت و شرایط مرزی دو سر یک صفحه ی توسط اصل همیلتون و با به کارگیری میدان جابهجایی فرض شده به دست میآیند. برای این کار، معادلات مربوط به انرژی کرنشی، انرژی جنبشی و کار خارجی نیروهای وارده نوشته شدهاند. در نهایت، پس از انجام تمام سادهسازیها و گرفتن تغییرات جزئی از معادلات به دست آمده، میتوان معادلات حرکت و شرایط مرزی را بر حسب مؤلفههای میدان جابهجایی و پتانسیل الکتریکی به دست آورد. نکته بسیار جالب استفاده از اصل همیلتون، همین به دست آوردن پایدار و همزمان معادلات حرکت و شرایط مرزی است. بدین صورت، میتوان با انتخاب از بین این شرایط مرزی، شرایط انواع تکیهگاهها از جمله تکیه گاه گیردار، تکیه گاه مفصلی و آزاد را به دست آورد.
بدلیل اینکه جنس صفحه از مواد گرفن انتخاب شده است معادلات حرکت به دست آمده، به همراه شرایط مرزی تکیهگاهی، مجموعهای از معادلات دیفرانسیل را تشکیل میدهند که پیدا کردن حل تحلیلی برای آنها، چندان ساده نیست. به این دلیل، روش عددی مربعات تفاضلی تعمیم یافته4(GDQ) به عنوان یک روش پویا و قدرتمند مورد استفاده قرار گرفته است. ویژگی اساسی روش مربعات تفاضلی تعمیم یافته سرعت همگرایی این روش و قابلیت فوقالعاده آن در حل کردن شرایط مرزی گوناگون بدون در نظر گرفتن هیچ نوع تابع خاصی (نظیر آنچه در روش ریلی-ریتز اتفاق میافتد) میباشد. در نهایت، با استفاده از این روش میتوان به فرکانسهای طبیعی و بار بحرانی نانوصفحه دست یافت.
ساختار پایان نامه پیش رو به ترتیب زیر میباشد:
در فصل دوم مفاهیم پایه ای و اساسی مرتبط با پروژه حاضر معرفی می گردند. در این فصل همچنین مروری بر ادبیات موضوعی انجام می شود و مطالعات انجام شده در زمینه ی تحلیل رفتار استاتیکی و ارتعاشی نانو صفحه ها و اثر پارامترهای مختلف بر آن و روش های مختلف حل استفاده شده معرفی خواهند شد. همچنین جایگاه پژوهش حاضر در میان کارهای پژوهشی انجام شده بررسی می شود. در فصل سوم مدلسازی مساله صورت گرفته است. در این قسمت با بکارگیری اصل همیلتون معادلات حاکم برای نانوصفحه ی ساخته شده از مواد گرفن بدست آمده اند. در فصل چهارم با استفاده از روش عددی مربعات تفاضلی معادلات به دست آمده، برای انواع تکیه گاه های مختلف حل شده اند. همچنین با استفاده از روش ناویر یک راه حل تحلیلی برای نانوصفحه ی ساخته شده از مواد گرفن که روی تکیه گاه ساده قرار دارد ارائه شده است و جواب ها با نتایج حاصل از حل عددی مقایسه می شوند. همچنین در این فصل با ارائه مثالی به بررسی رفتار ارتعاشی و کمانشی نانوصفحه پرداخته می شود و تاثیر پارامترهای گوناگون مانند نسبت صفحه، پارامتر غیرموضعی، ضریب بستر و شرایط مرزی بر رفتار نانوصفحه مورد مطالعه قرار می گیرد. در فصل پنجم نتیجه گیری و زمینه ی کارهای پیشرو ارائه خواهد شد.
فصل دوم :ادبیات تحقیق
مباحث نظری
ورود به حوزه ی فناوری نانو بدون شناخت رفتار مکانیکی مواد در این حوزه امکان پذیر نیست. از آنجا که در مقیاس نانو، مواد دارای ساختار اتمی آشکار هستند، فرض پیوستگی محیط مادی که فرض اساسی مکانیک محیط پیوسته کلاسیک است نقض می شود. بنابراین نمی توان از روش ها و تئوری هایی که برای مکانیک محیط پیوسته کلاسیک در طی دهه های گذشته توسعه یافته اند برای مطالعه ی رفتار ماده در مقیاس نانو استفاده کرد. روش دیگری که برای مطالعه ی رفتار اتم ها و ذرات بنیادی وجود دارد مکانیک کوانتومی می باشد. متاسفانه این علم تنها در ابعاد محدودی در حد چندین اتم توانایی مطالعه رفتار اتم ها را دارد که شامل جزئیات دقیق حرکت اتم ها می شود. بنابراین از این روش نیز نمی توان بطور مستقیم برای مواد نانو استفاده کرد. با توجه به این مسائل، محققان مجبور به ابداع روش های جدیدی برای مطالعه ی رفتار ماده در مقیاس نانو و آنگسترم شده اند.
روش های مختلف مدلسازی در مقیاس های مختلف
روش مدل سازی اتمی
یکی از روش های مدلسازی رفتار ماده در مقیاس نانو، روش مدل سازی اتمی است. در این روش تک تک اتم ها در حین تغییر شکل ماده مورد مطالعه قرار می گیرند. اگرچه این نحوه ی مدل سازی ماده می تواند تمامی جزئیات فرآیندهای مقیاس اتمی را در اختیار قرار دهند، اما با محدودیت های خاص خود مواجه می‏باشند. این محدودیت ها، محدودیت مقیاس های زمانی و طولی می باشند. از آنجا که در این روش تمامی اتم ها مورد مطالعه قرار می گیرند، مقیاس زمانی از مرتبه ی فمتو5 (〖10〗^(-6) ) و مقیاس طولی از مرتبه ی آنگستروم6 (〖10〗^(-15) ) خواهد بود. با توجه به این مقیاس ها، مطالعه ی مواد منحصر به ساختارهای بسیار کوچک برای بازه ی زمانی بسیار کوچک خواهد بود. با توجه به توان محاسبات کنونی تنها می توان سیستم هایی در محدوده ی میکرون (〖10〗^(-6)) و در بازه ی زمانی حدود میلی ثانیه را مورد مطالعه قرار داد. گذشته از این، مدل سازی اتمی نیاز به برخی اطلاعات دارد که به نوبه خود خروجی هایی اضافی دارد که در برخی اوقات مورد توجه نیست.
روش های چند مقیاسی
در اغلب موارد پدیده های مربوط به مقیاس نانو به نحوی هستند که تنها در بخشی از دامنه نیاز به دانستن جزئیات اتمی می باشد و در سایر قسمت ها، می توان از تقریب به صورت قابل قبول استفاده کرد. برای مثال در پدیده ای مانند رشد ترک، در نوک ترک باید تمامی اطلاعات مربوط به پیوندهای اتمی مورد مطالعه قرارگیرند اما در نواحی دورتر دانستن اطلاعات مزبور به تک تک اتم ها لازم نمی باشد. از طرف دیگر، تحلیل های اتمی، تمامی اتم ها را مورد مطالعه قرار می دهد و باعث محدودیت در مقیاس طولی و زمانی مورد مطالعه می شوند. با توجه به این مسائل، روش هایی ابداع شده اند که به صورت ترکیبی عمل کرده و از مزایای روش های اتمی و محیط پیوسته بهره می برند. به این روش ها اصطلاحا روش های چند مقیاسی گفته می شود.
روش اتمی ـ پیوسته
در روش های چند مقیاسی از چندین دسته معادلات برای مدل سازی مقیاس های مختلف استفاده می شود. بدین ترتیب که حوزه ی مورد مطالعه به چندین بخش تقسیم می شود. در هر بخش که بیانگر درجه دقت مورد نظر در آن بخش است، مدل متناسب با آن مقیاس بکار گرفته می شود. برای مثال در مسئله ی ترک، نواحی نوک ترک یک ناحیه، نواحی اطراف و نزدیک ترک ناحیه ی دیگر و سایر دامنه یک ناحیه ی دیگر مد‏نظر قرار داده می شود. از آنجا که در نوک ترک تمامی داده های اتمی مورد نیاز است، مدل مورد استفاده در این ناحیه مدل مکانیک کوانتومی خواهد بود. از طرف دیگر در نواحی دورتر که اغلب بخش اعظم مسئله را در بر می گیرد از مدل محیط پیوسته می توان بهره برد. چرا که اثرات رشد ترک در این نواحی از بین می‏رود و میدان تغییر شکل به صورت هموار می شود. در ناحیه ای که بین این ناحیه بسیار دقیق مکانیک کوانتومی و ناحیه ی محیط پیوسته واقع می شود می توان از مدل سازی اتمی بهره برد.
در روش های چند مقیاسی با توجه به اینکه نوع معادلات حاکم در هر ناحیه و مقیاس ها با یکدیگر تفاوت دارند، مشکلاتی ناشی از انطباق شرایط مرزی در مرز بین دو ناحیه بوجود می آید. به همین جهت حتی الامکان سعی می شود از تعداد مقیاس های کمتری استفاده شود. یکی از پرکاربردترین این روش ها، ترکیب مدل سازی اتمی و مدل محیط پیوسته می باشد. چنانچه در شکل( ‏21) مشخص است، در این حالت قسمتی از مدل با در نظر گرفتن تمامی اتم ها به صورت اتمی مدل سازی شده است و قسمت دیگر که با المان بندی اجزاء محدود مشخص شده است، نشان دهنده ی مدل محیط پیوسته است. بین این دو ناحیه، ناحیه ی وجود دارد که هم دارای مدل اتمی و هم دارای المان اجزاء محدود می باشد. این ناحیه که به ناحیه ی گذار موسوم است منتقل کننده ی داده های مسئله از یک ناحیه به ناحیه دیگر است.
شکل ‏21 مدل دو مقیاسی اتمی و محیط پیوسته
از آنجا که طبیعت معادلات حاکم بر مدل اتمی و مدل محیط پیوسته با هم تفاوت دارند، در محل ناحیه ی گذار، نیروها و جابجایی های مجازی شکل می گیرند که روند حل مسئله را با مشکل مواجه می کنند. بیشترین تلاش در زمینه ی این روش، معطوف به بهبود رفتار ناحیه ی گذار می شود.
شکل ‏22 مقیاس های مورد استفاده در روش های چند مقیاسی
برخی مسائل وجود دارند که در آن ها بیش از دو مقیاس برای بررسی دقیق تر مسئله نیاز است. در این حالت با تقسیم دامنه به تعداد مورد نیاز، از مقیاس ریزتر به درشت تر منتقل می شود. همانگونه که در شکل(2-2) مشخص است، تئوری های مختلفی در هر مقیاس مورد استفاده قرار می گیرد. دقیق ترین تئوری که مربوط به مقیاس طولی نانومتر و مقیاس زمانی فمتوثانیه می باشد، مکانیک کوانتومی اصول اولیه7 می‏باشد. در مرحله بعد روش دینامیک مولکولی کلاسیک قرار دارد. سپس روش مونت کارلو مورد استفاده قرار می گیرد. در مقیاس طولی میلیمتر، برای مطالعه ی عیوب از دینامیک نابجایی بهره برده می شود. در مقیاس بزرگتر از میلیمتر از مکانیک آماری و در نهایت در مقیاس های معمول از مکانیک محیط پیوسته استفاده می شود.
.
مکانیک کوانتومی
در مکانیک کوانتومی، از روش های بسیار دقیق برای مطالعه ی رفتار ذرات بنیادی استفاده می شود.
این روش ها عموما از توابع انرژی پیچیده ای برای توصیف حرکت ذرات بنیادی استفاده می کنند. بطور کلی، در توصیف مکانیک کوانتومی مواد، اتم ها به صورت مجموعه ای از ذرات مکانیک کوانتوم، الکترون ها و هسته، که در معادله ی شرودینگر8 صدق می کنند در نظر گرفته می شوند. با استفاده از تقریب بورن ـ اپنهایمر9 موقعیت الکترون ها وابسته به موقعیت هسته بوده و موقعیت هسته بصورت درجات آزادی در نظرگرفته می شود. با توجه به اینکه تمامی الکترون ها و هسته در محاسبات تنها یک اتم در نظر گرفته می‏شوند، و همچنین طبیعت معادلات حاکم که بسیار پیچیده هستند، استفاده از روش های مکانیک کوانتومی با محدودیت های محاسباتی همراه است و مجموعه ای بزرگتر از چندین صد اتم را نمی توان با این روش مورد مطالعه قرار داد.
دینامیک مولکولی
در روش دینامیک مولکولی، حرکت اتم ها با توجه به پیوندهای اتم های واقع در همسایگی آن اتم مورد مطالعه قرار می گیرد. معادله ی دینامیکی سیستم توسط قانون حرکت نیوتن بیان می شود. در مجموع، اتم ها به صورت مجموعه ای از ذرات صلب که تحت اثر میدان پتانسیل اطراف قرار دارند مورد مطالعه قرار می‏گیرند. روش های مختلفی برای بیان تابع پتانسیل بین اتم ها وجود دارد. در برخی از این روش ها، با توجه به موقعیت تمامی اتم ها، مقداری انرژی پتانسیل در یک نقطه ی خاص حاصل می شود (همانند تئوری های غیر موضعی). اما در برخی دیگر از روش های تعیین انرژی پتانسیل، تنها به همسایگی محدود نقطه ی مورد نظر بسنده می شود. تا اوایل دهه ی 1970 شبیه سازی های دینامیک مولکولی تنها محدود به چند پتانسیل های بین اتمی ساده نظیر پتانسیل لنارد ـ جونز10 برای مدل سازی پیوندهای وان در والس بود. برای مدل سازی مواد دیگر با ساختار پیوندی پیچیده تر، توابع پتانسیل پیچیده تری با استفاده از تقریب بورن ـ اپنهایمر، با استفاده از توزیع چگالی الکترون ها وپتانسیل های جفت اتمی که بیانگر پیوند بین دو اتم بود ایجاد شده اند.
.
روش مونت کارلو
روش مونت کارلو11 یک روش مبتنی بر تکنیک های تصادفی می باشد که با در نظر گرفتن توزیع تصادفی
و بهره گیری از تئوری احتمالات به حل مسئله می پردازد. این روش در طیف وسیعی از علوم مانند بیولوژی، جامعه شناسی و فیزیک هسته ای مورد استفاده قرار می گیرد. اساس این روش بر تولید اعداد تصادفی دربازه ی بین صفر و یک استوار است. روش های مختلفی برای تولید اعداد تصادفی وجود دارند که بسته به نوع مسئله مورد استفاده قرار می گیرد.
دینامیک نابجایی
هرگونه خروج از حالت کریستالی مواد، که معمولا در مواد وجود دارد، نابجایی خوانده می شود. با توجه به اینکه مطالعه ی رفتار مواد در همسایگی این نابجایی ها اغلب با مشکلاتی روبروست، تئوری هایی مخصوص این حالت ابداع شده اند که به بررسی رفتار و حرکت نابجایی ها می پردازند. در این تئوری ها حالت تنش و کرنش در همسایگی نابجایی ها مورد مطالعه قرار می گیرد و مشکلات ناشی از تکین12 شدن مقادیر تنش و کرنش رفع می شود.
در روش های چند مقیاسی، با اینکه مقیاس های متنوعی را می توان در نظر گرفت ولی اغلب دو یا سه مقیاس برای مطالعه در نظر گرفته می شود. زیرا در مرز بین دو ناحیه که دارای مقیاس های متفاوت هستند مشکلات ناشی از طبیعت متفاوت معادلات حاکم بروز می کند و باعث ایجاد نیروها و جابجایی های ناخواسته می شود. در بررسی های خیلی دقیق مانند پدیده ی رشد ترک، از سه مقیاس استفاده می شود. در نوک ترک و در ناحیه ای متشکل از چندین اتم محاسبات مکانیک کوانتوم مورد استفاده قرار می گیرد. در ناحیه ی اطراف نوک ترک، مدل سازی اتمی انجام می شود و در مابقی دامنه مدل های محیط پیوسته بکار گرفته می شود.
روش مکانیک مولکولی
این روش مبتکرانه ( که به طور کامل تر روش مکانیک مولکولی ساختاری13 نیز نامیده می شود) در سال 2003 توسط لی14 و چانگ15[1] ابداع گردید. در روش مکانیک مولکولی نیروهای بین اتمی با المان های اجزاء محدود (همچو المان تیر و فنر) مدل می شوند(شکل 2ـ3). خواص مکانیکی و هندسی این المان ها وابسته به نوع پتانسیلی است که برای نیروهای بین اتمی در نظر می گیریم. ساختار مورد نظر با المان های انتخاب شده مش بندی می گردد و مسئله همچون مسئله ی اجزاء محدود حل می شود.
شکل ‏23 نانو لوله ی کربنی مش زده شده با المان های تیر تحت بارگذاری
از آنجا که در این روش هر اتم تنها به تعداد محدودی از اتم های اطراف خود به وسیله ی المان های موجود متصل است و همچنین به دلیل استفاده از روش عددی اجزاء محدود، این روش سرعت بیشتری نسبت به روش دینامیک مولکولی دارد. در این روش مدل سازی مسئله به صورت سریعتر و راحت تری انجام می شود اما دقت نتایج به خوبی روش دینامیک مولکولی نیست.
لی و چانگ [55] در اولین کاربرد این روش مدول یانگ نانو لوله ی کربنی را با دقت خوبی محاسبه کردند. آن دو در مطالعه ای دیگر رفتار الاستیک نانو لوله ی کربنی در کمانش را بررسی کردند. همچنین در این مقاله برای نخستین بار نیروهای واندروالس بین لایه های مختلف نانو لوله های چند دیواره به وسیله ی روش مکانیک مولکولی مدل گردید.
تئوری های مرتبه بالای محیط پیوسته
روابط ساختاری تئوری های استاندارد محیط پیوسته اغلب به صورت خطی می باشد. اما با توجه به پدیده مورد مطالعه می توان از جمله های مرتبه بالاتر در روابط ساختاری یا از رابطه ساختاری جدید استفاده کرد. این موارد خاص قبل از مطرح شدن فناوری نانو نیز وجود داشته اند که می توان به بررسی رشد ترک، مواد دانه ای، مسائل مربوط به مرز بین دو ماده ی متفاوت و دیگر مسائلی که تئوری خطی الاستیسیته قادر به حل آن ها نیست اشاره کرد.
درحوزه ی نانو مکانیک برخی از تئوری های غیرخطی نیز مورد استفاده قرار گرفته اند. یک دسته از تئوری‏های غیرخطی الاستیسیته، تئوری غیر موضعی می باشد. در تئوری الاستیسیته ی غیرموضعی16، روابط تنش و کرنش که در تئوری کلاسیک بصورت محلی است، وابسته به کل دامنه می باشد. برای مثال در تئوری کلاسیک با دانستن حالت کرنش در یک نقطه می توان حالت تنش را در آن نقطه با استفاده از روابط ساختاری بدست آورد. اما در تئوری الاستیسیته ی غیر موضعی، برای بدست آوردن حالت تنش در یک نقطه باید حالت کرنش در تمامی نقاط دامنه معلوم باشد. بدین جهت اغلب روابط بصورت انتگرالی روی دامنه ی ماده می باشد.
اگر در روابط تنش کرنش، عبارات گرادیان کرنش را اضافه کنیم، تئوری حاصله الاستیسیته ی گرادیانی17 خواهد بود. در این تئوری تا حدی که مورد نیاز است، می توان از گرادیان های مرتبه ی بالاتر کرنش و یا تنش استفاده کرد. این تئوری به خوبی می تواند رفتار ماده را در حالت های تکین که تئوری خطی قادر به جواب- گوی نیست، مدل سازی کند. برای مثال، حالت تنش و کرنش این تئوری در نوک ترک یا در مرز دو ماده تکین نخواهد بود. از این تئوری به صورت محدود برای مدلسازی رفتار مواد در مقیاس نانو استفاده شده است.
یکی دیگر ار تئوری های غیر خطی، تئوری الاستیسیته کسرات18 می باشد. این تئوری که در اوایل صده ی 1900 توسط برادران کسرات ارائه گردید، برای مدلسازی رفتار دانه ای مانند خاک و شن ایجاد شده است. به علت روابط پیچیده ، این تئوری در ابتدا استقبال نشد؛ اما در سال های اخیر با مطرح شدن فناوری نانو مورد توجه محققان قرار گرفته است. در این تئوری، یک ثابت بی بعد که بیانگر یک مقیاس طول داخلی است به روابط اضافه می گردد. از آنجا که در مقیاس نانو، ساختار مواد به حالت دانه ای شبیه است، می توان از این تئوری بهره برد و با بدست آوردن ثابت طولی داخلی که احتمالا با داده های اتمی مرتبط خواهد بود، از مزایای این تئوری بهره برد. اما این تئوری هم معایب خاص خود را دارد و بجز در موارد خاص از این تئوری در مقیاس نانو استفاده نشده است.
در ادامه در مورد هر یک از تئوری های مرتبه بالای کسرات، تنش های مزدوج، الاستیسیته ی گرادیان کرنش و تئوری غیر محلی توضیحاتی داده خواهد شد.
تئوری کسرات و نظریه ی تنش های تزویجی
اگر در ماده تا حد ساختار کریستالی، مولکولی و حتی اتمی دقیق شویم، این ساختار به صورت گسسته قابل تعریف می باشد و نمی توان انتظار داشت زمانی که به بررسی خرابی های ریز مقیاس در حدود ساختار گسسته ماده می پردازیم، اثر ابعاد خرابی وارد نشود. برای اولین بار در سال 1909 برادران کسرات نظریه ی کلاسیک را زیر سوال بردند[2]. در این کار که ایده ی اولیه ی برای بسیاری از کارهای مشابهی بود که در ادامه ارائه شد، آنها به این موضوع پرداختند که آیا می توان انتظار داشت فقط با در نظر گرفتن سه درجه تغییر مکانی برای هر نقطه از ماده، رفتار آن را به صورت کامل بیان شود. این مسئله بخصوص زمانی مملوس تر می شود که ماده را به صورت تجمعی از ریز ساختارها در نظر می گیریم. در نظریه ی مطرح شده توسط این دو برادر، پیشنهاد شد که علاوه بر سه درجه آزادی تغییر مکانی، سه درجه آزادی چرخشی هم برای هر نقطه در نظر گرفته شود. بر این اساس اندرکنش بین دو ذره همسایه، توسط یک بردار تنش و یک بردار لنگر صورت می گیرد. این دو بردار بر روی سطح مشترک مابین دو ذره تعریف می شوند. به این ترتیب چرخش نسبی دو ذره نزدیک به هم، بر خلاف نظریه ی کلاسیک باعث به وجود آمدن نیروها و لنگرهای اندرکنشی می شود. در این نظریه بطور کلی مولفه های چرخش، مستقل از مولفه های جابجایی در نظر گرفته می شود. این نظریه به نظریه ی محیط پیوسته ی کسرات یا نظریه ی میکروپولار19 معروف می باشد. نام میکروپولار را ارینگن20 [3-7] در مطالعات مفصل خود برای آن برگزید. مطالعات انجام شده بر روی این نظریه نشان می‏دهد که با توجه به فرمولاسیون جدید ارائه شده، اثر اندازه در حل مسائل مختلف وارد می شود. این مسئله توسط پارامترهایی با بعد طول که در مطالعات رفتاری ماده وارد می شوند، موجب می شود تا نظریه ی محیط پیوسته کسرات قابلیت پیش بینی اثر اندازه را دارا باشد. در نظریه ی دیگری که توسط میندلین21 و تیرستن22 [8] در سال 1962 ارائه شد، فرض شد که مولفه های چرخش در هر نقطه از ماده می تواند بر اساس میدان جابجایی قابل تعیین باشد. در واقع فرض اساسی در نظریه ی آنها که به نظریه ی تنش های مزدوج معروف23 است، برابری میکرو چرخش ها24 و مایکرو چرخش ها25 می باشد. میکرو چرخش ها همان چرخش های مربوط به خود ذرات می باشد که در نظریه ی اولیه ی کسرات مستقل از میدان جابجایی فرض شده بود. ماکروچرخش ها همان کرل میدان جابجایی می باشند و لذا از روابط میدان جابجایی قابل محاسبه است. در واقع این نظریه را می توان حالت خاصی از نظریه ی میکروپولار دانست.
میندلین [9] در همان سال مطالعاتی بر روی ضرایب تمرکز تنش در اطراف سوراخ های به شکل دایروی و کروی انجام داد. بر اساس این تحقیق، ضرایب تمرکز تنش جدیدی که به اندازه ی سوراخ وابسته اند به دست می آیند. همانطور که قبلا نیز مطرح شد، بررسی و مطالعه ی مجدد موارد شامل اثرات ریز ساختار به کمک نظریه های مراتب بالاتر محیط پیوسته ی میکروپولار و نظریه ی تنش های مزدوج مورد توجه محققان بوده است. برای مثال بررسی اغتشاش میدان الاستیک در حضور ناهمگنی های دایروی و کروی



قیمت: تومان

دسته بندی : پایان نامه ارشد

پاسخ دهید