دانشکده فنی و مهندسی
گروه مهندسی مکانیک
پایان‌نامه برای دریافت درجه کارشناسی ارشد رشته‌ی مهندسی مکانیک
گرایش تبدیل انرژی
موضوع پایان‌نامه
روش‌های آماري در المان محدود و كاربرد آن در انتقال حرارت
استاد راهنما
دکتر سعید نیازی
توسط
سیّدحميد موسوي
تابستان1391
به نام خداوند جان و خرد

كزين برتر انديشه بر نگذرد
خداوند نام و خداوند جاي
خداوند روزي ده رهنماي
کلیه حقوق مادی مرتبط بر نتایج مطالعات، ابتکارات و نوآوری‌های ناشی از تحقیق موضوع این پایان‌نامه متعلق به دانشگاه هرمزگان است.
دانشکده فنی و مهندسی
گروه مهندسی مکانیک
پایان‌نامه برای دریافت درجه کارشناسی ارشد رشته‌ی مهندسی مکانیک
گرایش تبدیل انرژی
عنوان پایان‌نامه:
روش‌های آماري در المان محدود و كاربرد آن در انتقال حرارت
استاد راهنما :
دکتر سعید نیازی
استاد مشاور:
دکتر محمدعلی میرزایی
نگارش:
سیّدحمید موسوی
تابستان1391
تشکر و قدردانی
به نام خدا
با سپس از الطاف بيكران خداوند و پرتو مهر پرفروغش و تشكر صميمانه از استاد گران‌قدر جناب دكتر نيازي كه مرا بر بال‌های انديشه نشاند و در آسمان شوق پرواز داد و تشكر ويژه از جناب دكتر ميرزايي و همچنين همسر مهربان و فرزندان دلبند و پدر و مادر عزيزم، اين پايان نامه را تقديم می‌نمایم به همه انديشه هاي سبزي كه دليل شكوفايي شاخسار آفرينشند.
تابستان 1391
چکیده
بيشتر اوقات اطلاعات اوليه و شرايط مرزي به طور دقيق مشخص نيستند و باعث به وجود آمدن خطاهايي در خروجي مسئله می‌شوند.
اين مقادير اوليه می‌توانند از طريق آزمايش و روش‌های آماري بدست آيند مطالعه تك تك افراد جامعه به علت هزينه زياد ، كمي وقت و يا نداشتن امكانات كافي اغلب مقدور نيست بنابراين نمونه اي از جامعه را انتخاب و نتيجه حاصل از مطالعه را به تمام جامعه تعميم می‌دهیم.
با آماري بودن اطلاعات نتايج گرفته شده نيز داراي درصدي اشتباهي می‌باشد كه مقادير آن‌ها با توجه به اطلاعات آماري داده‌ها مشخص می‌گردند.
در اين پايان نامه اثر آماری بودن اطلاعات ورودي به نتايج بدست آمده با بكار گرفتن روش المان محدود مورد مطالعه قرار می‌گیرد.
اين روش در تمامي شاخه هاي علم كاربرد داشته ولي ما اين روش را در انتقال حرارت مورد مطالعه قرار می‌دهیم.
در انتقال حرارت دوبعدي دما بر اساس شرايط مرزي و ضرايب هدايت و جابجايي مورد مطالعه قرار می‌گیرد و درصد اشتباه از درجه اول بررسي خواهد شد.
در نهايت كاربردي بودن اين روش به اثبات خواهد رسيد.
واژه‌های کلیدی :
المان محدود، انتقال حرارت، تحليل عددي، انحراف معيار، ميانگين، ضريب تغييرات، آماري
فهرست مطالب
فهرست علائم و اختصاراتهشت
فهرست شکل‌هانه
1 فصل اول: مقدمه1
1-1 اهداف تحقیق1
1-2 فرضیات تحقیق2
1-3 پیشینه تحقیق3
1-4 روش تحقیق3
1-5 خلاصه فصول4
2 فصل دوم: تئوري مسئله5
2-1 تئوری انتقال حرارت جابجایی و هدایت و معادلات حاکم5
2-2 معادله هدایت9
2-3 روش المان محدود13
2-3-1 المان‌های خطی یک بعدی18
2-3-2 المان مرتبه دو20
2-3-3 المان مثلثی دو بعدی23
2-3-4 المان‌های مثلثی مرتبه دو25
2-3-5 المان‌های چهار ضلعی29
2-4 المان‌های ایزو پارامتریک32
2-5 المان‌های سه بعدی38
2-6 مشخصات المان42
2-6-1 روش انتگرال تعادل گرما(ریتز):43
2-6-2 روش تغییرات44
2-6-3 روش باقیمانده های وزنی45
2-7 فرمولاسیون معادلات هدایت حرارتی49
2-8 مقدمه ای بر آمار53
2-8-1 جامعه آماري53
2-8-2 نمونه54
2-8-3 متغير54
2-8-4 دامنه55
2-9 آمار يك بعدي55
2-9-1 توزيع احتمال و توابع توزيع55
2-9-2 تابع فراواني55
2-9-3 متغيرهاي تصادفي گسسته56
2-9-4 متغيرهاي تصادفي پيوسته56
2-9-5 تابع توزيع نرمال57
2-9-6 مقدار ميانگين59
2-9-7 گشتاورها59
2-9-8 پراكندگي61
2-9-9 ميانگين انحراف‌ها62
2-9-10 واريانس و انحراف معيار62
2-9-11 ضريب تغييرات63
2-9-12 تابع مولد گشتاور64
2-9-13 مولد گشتاور64
2-9-14 تابع مولد گشتاور براي توزيع نرمال65
2-10 روش المان محدود آماري67
2-10-1 روش‌های کلي68
2-10-2 عدم قطعيت درجه اول69
2-10-3 روش حل70
3 فصل سوم: ارائه نتايج73
3-1 پره73
3-2 صفحه مستطيلي84
فصل چهارم95
مراجع97
فهرست علائم و اختصارات
برآيند نيروهاFواريانسΣ2ضریب هدایت حرارتیKتابع توليد گشتاورMX(t)ضريب جابجاييHضريب همبستگيrijميدان برداريUمختصات كارتزينX,yدماTزمانtتابع شكلNمقدار میانگینmاختلاف∆دامنه داده‌هاRتوزيع احتمالPانحراف معيارσتابع توزيع احتمالF(x)تابع تستGماتريس سختيKفهرست شکل‌ها
شکل ‏21 : تابع توزيع پيوسته57
شکل ‏22 : احتمال تابع توزيع شكل(2-1)57
شکل ‏23 : تابع توزيع نرمال58
شکل ‏24 : تابع فراواني(چگالي) نرمال58
شکل ‏31 المان بندي پره74
شکل ‏32 : توزيع دما از روش المان محدود74
شکل ‏33 : كانتورهاي دما در پره76
شکل ‏34 : توزيع دما عدم قطعيت درجه اول در ضرايب انتقال حرارت76
شکل ‏35 : مقايسه توزيع دما اشكال 3-2 و 3-477
شکل ‏36 : توزيع دما با ميانگين گيري با 30 ضريب هدايتي77
شکل ‏37 : توزيع دما با ميانگين گيري با 30 ضريب جابجايي78
شکل ‏38: مقايسه توزيع دما اشكال 3-6 و 3-7 و ميانگينشان78
شکل ‏39 : مقايسه توزيع دما اشكال 3-1و3-2و ميانگين گيري 30 ضريب هدايت و جابجايي79
شکل ‏310 : مقايسه اختلاف توزيع دما اشكال 3-1و3-2و ميانگين گيري 30 ضريب هدايت و جابجايي79
شکل ‏311 : انحراف معيار استاندارد دما در حالتي كه عدم قطعيت در ضريب هدايتي باشد80
شکل ‏312 : انحراف معيار استاندارد دما در حالتي كه عدم قطعيت در ضريب جابجايي باشد80
شکل ‏313 : ضريب تغييرات در حالتي كه عدم قطعيت در ضريب هدايتي باشد.81
شکل ‏314 : ضريب تغييرات در حالتي كه عدم قطعيت در ضریب جابجايي باشد.81
شکل ‏315 : : انحراف معيار استاندارد دما در حالتي كه عدم قطعيت در ضرايب هدايتي و جابجایی باشد82
شکل ‏316 : ضريب تغييرات در حالتي كه عدم قطعيت در ضرايب هدايتي و جابجايي باشد82
شکل ‏317 : المان بندي صفحه84
شکل ‏318 : كانتورهاي دما در صفحه85
شکل ‏319 : توزيع دما از روش المان محدود در صفحه85
شکل ‏320 : توزيع دما عدم قطعيت درجه اول در ضرايب انتقال حرارت در صفحه86
شکل ‏321 : مقايسه توزيع دما اشكال 3-19 و 3-20 در صفحه86
شکل ‏322 : توزيع دما با ميانگين گيري با 30 ضريب هدايتي در صفحه87
شکل ‏323 : توزيع دما با ميانگين گيري با 30 ضريب جابجايي در صفحه88
شکل ‏324 : مقايسه توزيع دما اشكال 3-22 و 3-23 و ميانگينشان در صفحه88
شکل ‏325 : مقايسه توزيع دما اشكال 3-19و3-20و ميانگين گيري 30 ضريب هدايت و جابجايي در صفحه89
شکل ‏326 : مقايسه اختلاف توزيع دما اشكال 3-19و3-20و ميانگين گيري 30 ضريب هدايت و جابجايي در صفحه90
شکل ‏327 : انحراف معيار استاندارد دما در حالتي كه عدم قطعيت در ضريب هدايتي باشد (در صفحه)90
شکل ‏328 : انحراف معيار استاندارد دما در حالتي كه عدم قطعيت در ضريب جابجايي باشد (در صفحه)91
شکل ‏329 : ضريب تغييرات در حالتي كه عدم قطعيت در ضريب هدايتي باشد (در صفحه)92
شکل ‏330 : ضريب تغييرات در حالتي كه عدم قطعيت در ضریب جابجايي باشد (در صفحه)92
شکل ‏331 : انحراف معيار استاندارد دما در حالتي كه عدم قطعيت در ضرايب هدايتي و جابجایی باشد (در صفحه)93
شکل ‏332 : ضريب تغييرات در حالتي كه عدم قطعيت در ضرايب هدايتي و جابجايي باشد (در صفحه)94
فصل اول: مقدمه
برای تحلیل دقیق مسائل مهندسی نیاز به اطلاعات ورودی‌های دقیق و شرائط مرزی مشخص می‌باشد که در اغلب موارد اطلاعات اولیه و شرائط مرزی به طور دقیق مشخص نمی‌باشند و این اطلاعات خطاهایی را به وجود می‌آورند که باعث به وجود آوردن خطا در خروجی می‌شوند.
يكي از روش‌های بدست آوردن این اطلاعات اولیه و شرایط مرزی را از طریق آزمایش و روش‌های آماری می‌باشد که در این روش درصد خطاها در خروجی را می‌توان از اطلاعات آماری داده‌ها محاسبه نمود، که در این تحقیق سعی بر این است که آثار آماری بودن اطلاعات ورودی را بر روی خروجی‌ها را با توجه به روش المان محدود که یکی از روش‌های حل عددی بوده است در حل مسائل انتقال حرارت مورد بررسی قرار دهیم.
در اینجا با وارد کردن ضریب‌های جابه‌جایی و هدایتی مختلف و شرایط مرزی مختلف به حل مسئله پرداخته و نتایج را مورد مطالعه قرار می‌دهیم و درصدهای اشتباه را بدست می‌آوریم.
اهداف تحقیق
با توجه به پیشرفت تکنولوژی در تبدیل انرژی و ایجاد انرژی گرمایی بالا در این پروسه، نیاز به انتقال گرما به وجود آمده از محيط تبديل انرژي به شدت احساس می‌گردد.
یکی از روش‌های این انتقال گرما در صنایع کوچک از ابزاری که با افزایش سطح، باعث افزایش انتقال حرارت به روش‌های هدايتي و جابجايي می‌گردند استفاده می‌گردد كه آن‌ها را پره يا فين می‌نامند. برای مطالعه آهنگ انتقال حرارت از فین نیاز به شناخت معادلات اساسی حاکم بر انتقال حرارت می‌باشد که با ظاهر شدن این معادلات و استفاده از آن‌ها معادلات دیفرانسیل جزئی ظاهر خواهند شد با توجه به حل مشکل این معادلات باید از روش‌های عددی موجود کمک گرفت که یکی از قوی‌ترین روش‌های حل عددی در مسایل انتقال حرارت روش المان محدود می‌باشد در این روش با حذف کامل معادلات دیفرانسیل و یا ساده سازی آن‌ها به معادلات معمولی که از لحاظ عددی نیز باید پایدار باشند عمل می‌کند برای انجام این کار نیاز به این می‌باشد که خطاها در اطلاعات اولیه و شرایط مرزی به حداقل ممکن برسد که نتایج غیر معقولی بدست نیاید برای بررسی بهتر نتایج اطلاعات اولیه و شرایط مرزی را که در این نوع مسایل ضریب انتقال حرارتی هدایتی و ضریب انتقال حرارت جابه‌جایی و شرایط مرزی مسئله می‌باشد را به صورت آماری و از روش آزمایشگاهی وارد و نتایج بدست آمده را با هم مقایسه می‌کنیم منظور از نتایج در این تحقیق درجه حرارت فین می‌باشد که مورد مطالعه قرار می‌گیرد و درصدهای خطای بدست آمده مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته و نتایج با اطلاعات آماری و شرایط مرزی را به هم ارتباط می‌دهیم.
فرضیات تحقیق
در تحلیل فیزیکی یک فین مسائلی از جمله مقدار سطح فین و ضرایب انتقال حرارت جابجایی و هدایتی می‌باشد زیرا حرارت حاصله از طریق هدایت به جسم منتقل شده و از طریق جابجایی به محیط منتقل می‌شود که تحلیل این گونه مسایل مرکب از نظر عملی بسیار مهم می‌باشد که با افزایش و یا کاهش هر کدام از این مسایل شرایط خروجی که درجه حرارت می‌باشد دست‌خوش تغییرات قرار می‌گیرد بعضی اوقات افزایش بیش از حد هر کدام از آن‌ها مثلاً سطح انتقال حرارت در زمانی که ضریب انتقال حرارت جابجایی بزرگ نه تنها تأثیری در افزایش میزان انتقال حرارت نخواهد داشت بلکه با توجه با افزایش مقاومت هدایتی باعث کاهش انتقال حرارت خواهد شد.
در این تحقیق با فرض چهار نوع فین و چهار حالت مختلف ضریب انتقال حرارت جابجایی یک فین دو بعدی را با دمای پایه و با شرط اينكه در انتهاي فين عايق شده و ديفرانسيل دما بر حسب طول فين در انتهاي فين صفر باشد ،مورد بررسی قرار داده و با توجه به درجه حرارت‌های بدست آمده به تحلیل مسئله خواهیم پرداخت .
پیشینه تحقیق
روش المان‌های محدود در اوایل دهه چهلم قرن بیستم در حل مسایل پیچیده الاسيسيته و تحلیل سازه‌ها در مهندسی عمران و هوافضا با تقسیم یک دامنه پیوسته ماده به یک سري زیر دامنه‌ها یا قطعات کوچک‌تر به نام المان به وجود آمد که این روش حل به سرعت در مسایل انتقال حرارت توسعه پیدا کرد و چون اولین چالش حل معادلات دیفرانسیل یافتن معادلاتی است که معادلات اصلی را با آن‌ها تقریب زده و از لحاظ عددی نیز پایدار باشند، می‌باشد. پس استفاده از اطلاعات آزمایشگاهی و مرتب کردن اطلاعات اولیه و شرایط مرزی به صورت آماری مورد بررسی قرار گرفت و درصدهای خطای درجه اول و درجه دوم آن مورد بررسی قرار گرفت.
روش‌های آماري المان محدود اولين بار در ايران توسط آقاي دكتر نيازي و دكتر كديور در سال 1990 ميلادي در شاخه جامدات و حرارت مورد تحقيق قرار گرفت و يكي از آخرين تحقيقات تا حال حاضر می‌توان به تحقيق آقاي مهندس ميثم علي آبادي در شاخه سيالات در دانشگاه هرمزگان اطراف يك كره در حال چرخش و يك ايرفويل اشاره نمود .

روش تحقیق
در این تحقیق یک فین دو بعدی با دمای پایه و دمای محیط ثابت در نظر گرفته و با استفاده از برنامه کامپیوتری که به روش المان محدود موجود می‌باشد با دادن اطلاعات اولیه که در اینجا ضرایب انتقال حرارت هدایتی و جابجایی می‌باشد جواب‌های مربوط به هر كدام از اين اطلاعات اوليه را بدست می‌آوریم سپس با توجه به تغییرات موجود درجه حرارت به بررسی و تجزیه و تحلیل خروجی‌ها پرداخته و نتایج بدست آمده را مورد تحلیل قرار می‌دهیم.
خلاصه فصول
در فصل اول این پایان نامه اهداف و فرضیات و پیشینه و روش تحقیق به اختصار بیان می‌شود و در فصل دوم به صورت اجمالی به تئوری انتقال حرارت جابجایی و هدایت و معادلات حاکم آن‌ها پرداخته شده و سپس روش‌های حل عددی به اخص روش المان مورد بررسی قرار گرفته و این روش را به صورت آماری که روش حل مسایل در این تحقیق است بیان گردیده و در فصل بعدی به بررسی نتایج و خروجی‌ها پرداخته شده و فصل پایانی به خلاصه بندی تحقیق و پیشنهادات تخصيص داده شده است.
فصل دوم: تئوري مسئله
تئوری انتقال حرارت جابجایی و هدایت و معادلات حاکم
انتقال حرارت یکی از مهم‌ترین مباحث در شاخه های مهندسی به خصوص مهندسی مکانیک می‌باشد زیرا مهندسان مکانیک علاقمند به دانستن مکانیسم‌های انتقال حرارت در تجهیزات و طبیعت می‌باشند.این علم در شاخه های دیگر مهندسی از جمله مهندسی برق – قدرت جهت جلوگیری از خسارت تمرکز دما در موتورهای الکتریکی ژنراتورها و مهندسی برق- الکترونیک برای دفع حرارت از نیمه رساناها و مهندسی نرم افزار جهت کاهش دمای برد مدارها و مهندسی شیمی در پروسه های شیمیایی و مهندسی مواد و مهندسی هوا فضا و مهندسی عمران کاربرد فراوانی دارد.
این شاخه از علم در مسایل طبیعی مانند تأثیر در آلودگی هوایی و دریایی و زندگی وابسته به آن‌ها نیز کاربرد فراوانی دارد و به طور کل می‌توان بیان داشت که هر پدیده ای که در جهان وجود دارد همراه با انتقال انرژی به شکل گرما می‌باشد که آن را انتقال حرارت می‌نامیم.
این علم بخشی از علوم می‌باشد که به مطالعه در مورد انتقال انرژی بین اجسام که ناشی از اختلاف دما میان آن‌ها می‌باشد می‌پردازد و به سه گونه زیر این انتقال انجام می‌گیرد:
الف) انتقال حرارت هدایتی
ب) انتقال حرارت جابجایی
ج) انتقال حرارت تشعشعی
انتقال حرارت ناشی از انتقال انرژی از یک مولکول به مولکول دیگر بدون حرکت مولکول و یا به دلیل وجود حرکت الکترون‌های آزاد را انتقال حرارت هدایتی می‌نامند.که این نوع نسبت به خاصیت ماده افزایش یا کاهش خواهد داشت و در هر سه حالت جامد، مایع و گاز به شرط وجود اختلاف دما از ناحیه دمای بالا به ناحیه دمای پایین اتفاق می‌افتد.
آهنگ انتقال حرارت در واحد سطح برابر با قانون فوریه برابر است با:
‏21q/A = – k∂T/∂X
که در این رابطه ∂T/∂X گرادیان دما در جهت جریان می‌باشد k را ضریب هدایت حرارتی ماده می می‌نامند واحد آن وات بر متر بر درجه سانتی‌گراد می‌باشد مقادیر آن در جداول کتاب‌های انتقال حرارت برای ماده های مختلف بیان شده است که این مقادیر بر اساس اندازه گیری‌های تجربی بدست آمده است.
اساس کار هدایت حرارتی در یک گاز را می‌توان بر اساس انرژی جنبشی بیان نمود بدین صورت که انرژی جنبشی یک مولکول به علت افزایش سرعت افزایش می‌یابد و در نتیجه این افزایش سرعت برخورد مولکول نیز افزایش یافته و باعث تبادل انرژی و اندازه حرکت می‌گردد.
به علت تساوی سرعت متوسط مولکول‌ها با سرعت صوت در یک گاز و رابطه سرعت صوت در یک گاز با ریشه دوم دمای مطلق با یک بررسی تحلیلی می‌توان ارتباط ضریب هدایت حرارتی در یک گاز را با ریشه دوم دمای مطلق نشان داد.
در مایعات با اینکه مولکول‌ها نسبت به گازها خیلی به نزدیک‌تر هستند با این حال اساس کار هدایت مانند گازها می‌باشد.
هدایت در جامدات به علت ارتعاش شبکه ای و انتقال به وسیله الکترون‌های آزاد انجام می‌گیرد و هر چه این جامدها هادی الکتریکی بهتری باشند در نتیجه به همان صورت که بارهای الکتریکی را جابجا می‌کنند می‌توانند انرژی حرارتی را بهتر جابجا نمایند و ضریب هدایت بالاتری نیز خواهند داشت.
در انتقال حرارت جابجایی حرارت به طریق جابجایی منتقل می‌گردد عبارت جابجایی به خودی خود بیانگر نوع انتقال حرارت می‌باشد ولی باید این آگاهی نسبی را تکامل داد تا به بررسی تحلیلی این موضوع دست بیابیم. در این نوع انتقال حرارت سرعت حرکت سیال بر روی جامد دارای حرارت، باعث سریع‌تر خنک شدن جامد یا به عبارت دیگر از دست دادن حرارت آن می‌شود حال آیا با چندین برابر کردن این سرعت ضریب انتقال حرارت هم چند برابر می‌شود . ضریب انتقال حرارت را در این نوع انتقال حرارت با h نشان داده و ضریب انتقال حرارت جابجایی می‌نامند و واحد آن وات بر متر مربع بر درجه حرارت می‌باشد .این ضریب را می‌توان در دستگاه‌های ساده به طور تحلیلی محاسبه نمود و در دستگاه‌های پیچیده باید به صورت تجربی بدست آورد.
ضریب انتقال حرارت جابجایی به خواص حرارتی سیال مانند ضریب هدایت حرارتی گرمای ویژه و چگالی و لزجت سیال بستگی دارد. لزجت بر سرعت و در نتیجه بر آهنگ انتقال حرارت در ناحیه نزدیک به جامد تأثیر می‌گذارد.
اگر سیال‌ها بدون منبع حرکت خارجی در مقابل جامد قرار گیرد در اثر گرادیان چگالی سیال به حرکت در می‌آید و آن را جابجایی طبیعی یا آزاد می‌نامند و اگر سیال توسط منبع دیگری به حرکت در آید آن را جابجایی اجباری می‌نامند.
پدیده های جوش و چگالش نیز در دسته انتقال حرارت جابجایی می‌باشند.در انتقال حرارت جابجایی معادله نرخ انتقال حرارت توسط قانون سرمایش نیوتون به صورت زیر بیان می‌شود :
‏22q=h(TW-Ta)
که در آن q شار حرارتی جابجایی (وات بر متر مربع) و h ضریب انتقال حرارت جابجایی (وات به متر مربع بر درجه حرارت) و Tw-Ta)) اختلاف درجه حرارت می‌باشد.
ضریب انتقال حرارت جابجایی معمولاً به عنوان یک شرط مرزی در حل این گونه مسایل مطرح و فرض می‌شود که این ضریب به عنوان معلومات مسئله می‌باشد.و در مسایل پیچیده تری مثل محفظه های احتراقی و یا مبدل حرارتی که در آن ضریب انتقال حرارت جابجایی معلوم نیست با فرض یک ضریب مناسب و یا اینکه با استفاده از روابط تجربی و یا آزمایشگاهی h را حدس زد که روش فوق روش مشکلی برای تعیین h می‌باشد.
نوع سوم انتقال حرارت را انتقال حرارت تابشی می‌نامند که بر خلاف انتقال حرارت جابجایی و هدایتی که نیاز به جسم مادی دارند این نوع می‌تواند در نواحی‌ای که خلأ کامل وجود دارد نیز انتقال یابد که اساس آن بر اساس حالت تابش الکترومغناطیسی می‌باشد که این تابش در اثر اختلاف دما به وجود می‌آید.
حداکثر شاری که توسط تأثیر از یک جسم سیاه صادر می‌شود می‌توان بر اساس قانون استفان –بولتزمن بدست آورد:
‏23q=σT_W^4
که در آن q شار حرارتی تشعشعی یا تابشی بر اساس وات به متر مربع و σ ضریب تناسب بوده و به ثابت استفان –بولتزمن معروف است و مقدار آن با واحد وات به متر مربع بر درجه حرارت به توان چهار و Tw دمای سطح بر حسب کلوین است .معادله فوق تنها برای تابش حرارتی معتبر است و سایر موارد تایش الکترومغناطیسی به این سادگی قابل بررسی نیست.
شار حرارتی که توسط یک سطح واقعی صادر می‌شود از شار یک سطح سیاه کمتر است و توسط رابطه زیر بدست میاید:
‏24q〖 = εσ T〗_W^4
که در این رابطه ε خاصیت تشعشعی سطح است و ضریب صدور نامیده می‌شود.با توجه به اینکه تابش الکترومغناطیسی در خطوط مستقیم حرکت می‌کند و مقداری از آن در محیط اطراف از بین می‌رود پس همه تابشی که از یک سطح ساطع می‌گردد به سطح دیگر نمی‌رسد.
تبادل انرژی تشعشعی خالص بین دو سطح 1و2 را توسط رابطه زیر بیان می‌کنند:
‏25q=F∈FGσA1(T14 – T24 )

که در این رابطه Fε تابع ضریب گسیل که مربوط به خواص دو سطح تابش کننده می‌باشد و FG تابع ضریب دید که مربوط به جهت هندسی دو سطح تبادل کننده حرارت است و A1 نیز مساحت سطح یک می‌باشد.
با توجه به قوانین ترمودینامیک ملاحظه می‌شود که فقط قانون اول ترمودینامیک در مسایل انتقال حرارت وارد می‌شود افزایش انرژی سیستم مساوی با اختلاف دما بین انرژی انتقالی به وسیله حرارت در سیستم و انرژی انتقالی به وسیله کار انجام شده روی محیط توسط سیستم است .
‏26dE = dQ – dw
Q برابر با کل حرارت وارد به سیستم و W کار انجام شده روی محیط می‌باشد. برای اینکه نرخ انتقال انرژی را در پروسه های مختلف انتقال حرارت بدانیم می‌توانیم بر اساس نرخ انتقال حرارت و نرخ کاری که توسط سیستم روی محیط انجام می‌دهد قانون اول ترمودینامیک را به صورت زیر بازنویسی نماییم:
‏27dE/dt = dQ/dt – dw/( dt)
که در این رابطه t زمان می‌باشد.
معادله هدایت
بحث اصلی در معادلات هدایت گرما توزیع دما در یک محیط می‌باشد. یعنی تعیین دما بر اساس تابعی از مکان در حالت دائم و تابعی از مکان و زمان در حالت غیر دائم هدف اصلی می‌باشد با تعیین توزیع دما می‌توان شار حرارتی در هر نقطه داخل محیط و یا هر کدام از سطح‌های آن از طریق قانون فوریه بدست می‌آید.
از این توزیع دما می‌توان به عنوان یکی از راه‌های تضمین سلامت ساختار داده نیز استفاده نمود زیرا با تعیین توزیع دما ،تنش‌های حرارتی و کرنش‌های جسم تعیین و در نتیجه ساختار ماده سالم مشخص می‌شود.
همچنین ضخامت بهینه یک ماده عایق و حتی سازگاری روکش ویژه یا چسباندن آن روی مواد می‌تواند به وسیله دانستن توزیع دما و پارامترهای انتقال حرارت مناسب نیز مطالعه نمود.در یک دستگاه کارتزین به وسیله قوانین بقای انرژی در یک حجم کنترل دیفرانسیلی می‌توان معادله هدایت حرارتی را به دست آورد.
پس از بسط تیلور و حذف ترم‌های مرتبه دوم و بالاتر در معادله هدایت حرارتی به معادلات زیر دست می‌یابیم:
‏28Qx+dx=Qx+∂Qx/∂x×∆x
Qy+dy=Qy+∂Qy/∂y×∆y
Qz+dz=Qz+∂Qz/∂z×∆z
و گرمای تولید شده در حجم کنترل فوق برابر با ∆x∆y∆z G و نرخ تغییر انرژی برابر با ∂T/∂t ∆x∆y∆zcρρ می‌باشد. در نهایت معادله بالانس انرژی به صورت زیر در می‌آید :
‏29G∆x∆y∆z+Qx+Qy+Qz=ρ∆x∆y∆z×∂T/∂t+Qx+dx+Qy+dy+Qz+dz
با جایگزینی معادلات بسط تیلور خواهیم داشت:
‏210 G – ∂Qx/∂x×∆x-∂Qy/∂y×∆y-∂Qz/∂z×∆z+G∆x∆y∆z=ρCp∆x∆y∆z×∂T/∂t
انتقال حرارت کل در هر جهت به صورت روابط زیر مشخص می‌شود:
‏211Qx=∆y∆zqx=-Kx∆y∆z×∂T/∂x
Qy=∆x∆zqy=-Ky∆x∆z×∂T/∂y
Qz=∆x∆yqz=-Kz∆x∆y×∂T/∂z
با جایگزینی معادله 2-11در معادله 2-10خواهیم داشت:
‏212∂/∂x(Kx ∂T/∂x)+∂/∂y(Ky ∂T/(∂y )) +∂/∂z(Kz ∂T/∂z) +G=ρCp ∂T/∂t
معادله فوق معادله انتقال حرارت هدایتی غیر دائم برای یک سیستم ساکن در مختصات کارتزین است که در آن ضریب هدایت حرارتی k یک بردار است و در حالت عمومی به صورت به صورت زیر بیان می‌شود:
‏213k=[■(kxx&kxy&kxz@kyx&kyy&kyz@kzx&kzy&kzz)]
معادلات 2-12 و2-13 برای حل مسایل انتقال حرارت هدایتی در مواد غیر ایزوتروپیک با ضریب هدایت حرارتی متغیر می‌باشد و در صورتی که ضریب هدایت حرارتی ثابت باشد و یا اینکه ضریب هدایت حرارتی به عنوان خاصیت غیر جهتی مطرح شود معادله به صورت زیر در میاید:
‏214 ∂²T/∂x²+∂²T/∂y²+∂²T/∂z²+G/K=1/∝ ∂T/∂∝را ضریب پخش حرارتی می‌نامند و برابر است با:
‏215∝=K/ρCp
و اگر هدایت حرارتی دائم و بدون هیچ تولید گرمایی محدود شود معادله2-14 به صورت زیر در میاید:
‏216∂²T/∂x²+∂²T/∂y²+∂²T/∂z²=0
معادله فوق در حالت یک بعدی و هدایت دائم به صورت زیر می‌باشد:
‏217d/dx(KdT/dx)=0
هر مسئله انتقال حرارت با بیان شرایط مرزی و اولیه مناسب کامل می‌شود.شرایط مرزی در معادله هدایت می‌تواند به وسیله دو شرط مرزی دیریشله و نیومن مطرح شود.
در شرط مرزی دیریشله دمای سطح معلوم است یعنی T=T0 و در شرط مرزی نیومن حالتی که شار حرارتی سطح معلوم باشد یعنی:
‏218q=-k∂T/∂η=c
و یا اینکه ترکیبی از دو شرط مرزی بالا باشد.
در معادلات فوق n بردار نرمال عمود بر سطح و c ثابت شار داده شده است و شرط آدیاباتیک را می‌توان با قرار دادن c=0 تحلیل نمود و شرط مرزی انتقال حرارت جابجایی نیز در دسته بندی شرط مرزی نیومن به صورت زیر قرار می‌گیرد:
‏219 k ∂T/∂n= h(Tw-T0) در این حالت که سیستم‌های هدایت جابجایی نامیده می‌شوند حرارت هدایت شده در جسم با فرایند جابجایی انتقال داده می‌شود مثلاً حرارتی که به وسیله دیواره یک برد الکترونیکی به بیرون میاید توسط جابجایی به محیط اطراف پراکنده می‌شود و برای بهتر شدن این روند می‌توان از سطوح گسترده استفاده نمود.
از آنجایی که زمان به صورت ترم مرتبه اول در معادله فوق وارد می‌شود پس به یک شرط اولیه روی کل دامنه برای حل نیاز پیدا می‌کنیم:
‏220t=t0
T=T0
در رابطه بالا t0 زمان مرجع می‌باشد.
شرایط دمای ثابت یا حتی دمای متغیر به علت اینکه دما یک اسکالر است برای اعمال ساده می‌باشد. اما اعمال شرایط شار سطح به راحتی حالت اول نیست معادله با شرط مرزی نیومن را می‌توان با در نظر گرفتن کسینوس‌های هادی در جهت نرمال سطح به صورت زیر به دست آورد:
‏221Kx∂T/∂x i ̂+Ky∂T/∂y m ̂+Kz ∂T/∂Z n ̂=c
یا حتی می‌توان معادله با شرط مرزی انتقال حرارت جابجایی را نیز به صورت زیر بازنویسی نمود:
‏222Kx∂T/∂x i ̂+Ky∂T/∂y m ̂+Kz∂T/∂z n ̂=h(T-T0)
که i ̂،m ̂،( n) ̂کسینوس‌های هادی سطح و به سمت خارج می‌باشند.
برای حل مسایل انتقال حرارت هدایتی روش‌های حل تحلیلی وجود دارد ولی در واقعیت در بسیاری از مسایل هندسه و شرایط مرزی پیچیده می‌باشد و دیگر حل تحلیلی امکان پذیر نمی‌باشد و حتی اگر روابط تحلیلی را برای بعضی از موارد پیچیده بسط داده شود همواره با حل سری‌های پیچیده ای ایجاد می‌شود و باید عملیات‌های مشکلی انجام داد تا به جواب رسید در این چنین شرایطی نیاز به حل عددی احساس می‌شود.
روش‌های عددی که تا کنون مورد استفاده قرار گرفته‌اند شامل تکنیک‌های اختلاف محدود ، حجم حدود و المان محدود و المان مرزی است که در این تحقیق از روش المان محدود استفاده می‌شود. روش‌های عددی در مقایسه با حل تحلیلی که دما را در هر نقطه از محیط بدست میاورد ، فقط قادر است دما را در یک سری نقاط گسسته بدست آورد و انتخاب این نقاط در هر آنالیز عددی اولین قدم حل محسوب می‌شود. این کار با تقسیم ناحیه حل به تعدادی ناحیه های کوچک‌تر انجام می‌گیرد و این نواحی را با انتخاب نقاط محدود می‌کنیم یعنی می‌توان گفت که نواحی بین یکسری نقاط قرار می‌گیرد.
به نقاط مرجع نقاط گره ای گفته می‌شود و همه آن‌ها مجموعه مش یا شبکه را به وجود میاورند هر گره بیانگر ناحیه معینی حول خود بوده و توزیع دمای ناحیه را مشخص می‌کند.
دقت عددی این محاسبات به تعداد نقاط گره شدیداً وابسته است و این گره‌ها نیز تعداد المان را مشخص می‌کنند و هر چه اندازه مش‌ها به صفر نزدیک شود حل عددی نیز دقیق‌تر خواهد شد.
روش المان محدود
بسیاری از سیستم‌های مهندسی را می‌توان با تقسیم بندی به اجزا ساده نمود و با استفاده از مفاهیم و اصول اولیه آن‌ها را تحلیل نمود و با اسمبل کردن این اجزا کل سیستم نیز تحلیل می‌شود. این سیستم‌ها را سیستم‌های گسسته می‌نامند. در بررسی یک سیستم گسسته پاسخ را با حل تعداد محدودی بدست میاید اما سیستم پیوسته به وسیله حل معادلات دیفرانسیلی پیچیده مشخص می‌شود به عبارت دیگر در این حالت پاسخ سیستم توسط نامحدودی مجهول بیان می‌شود. برای بدست آوردن دقیق یک مسئله پیوسته بسیار مشکل است. بنابراین برای حل روش‌های عددی استاندارد نیاز می‌باشد. اگر مشخصات یک مسئله بتواند با معادلات نسبتاً ساده بیان شود با به‌کارگیری تعداد محدودی از اجزا در ماتریس‌های ساده تحلیل شوند پروسه فوق سیستم پیوسته را به یک سیستم فیزیکی گسسته که قابل تجزیه و تحلیل باشد تبدیل می‌کند. پس اولین مطالعه مقدماتی این است که آیا سیستم به صورت پیوسته یا گسسته باشد.
اگر سیستم ما با استفاده از معادلات دیفرانسیلی پیچیده تحلیل شده باشد اول باید بدانیم که چگونه این معادلات می‌توانند توسط روش‌های عددی مناسب گسسته شوند و با تغییر تعداد مجهولات و المان‌ها می‌تواند دقت حل را کنترل نمود و با در دسترس بودن کامپیوتر دیجیتال و تکنیک‌های المان محدود شرایط حل عددی سیستم پیوسته را در یک وضعیت اصولی فراهم می‌شوند. این کار در واقع توسعه عملی و کاربرد پروسه های کلاسیک را در سیستم‌های پیچیده مهندسی فراهم میاورد.
در گسسته سازی یک سیستم باید مراحل زیر را طی نمود:
الف)تطابق سیستم:
سیستم به صورت مجموعه ای از المان‌ها در نظر گرفته می‌شود.
ب)مشخصات المان:
مشخصات هر المان یا هر جز توسط متغیرهای اصل مشخص شود.
ج)اسمبل کردن:
از معادلات شبیه سازی شده با اسمبل کردن مشخصات المان‌ها برای متغیرهای مجهول تشکیل شود.
د)حل معادلات:
معادلات شبیه سازی شده حل می‌شوند تا همه متغیرهای اصلی روی نقاط مشخص شده تعیین شود.
در اینجا به عنوان مثال انتقال حرارت را در یک ترکیب هدایت-جابجایی بررسی می‌کنیم.
همان‌طور که می‌دانیم جهت افزایش انتقال حرارت جابجایی از یک سطح می‌توان سطح مورد نظر را افزایش داد که این کار با اضافه کردن سطوح اضافه انجام می‌گیرد .این سطوح اضافه را سطوح گسترش یافته یا پره می‌نامند. پره‌ها نمونه خوبی از چاه حرارتی می‌باشند و برای ساده سازی می‌توان تغییرات دما را در جهت ضخامت و در جهت عرض پره را ناچیز فرض می‌کنیم یعنی تغییرات دما فقط در جهت طول پره و ارتفاع بدنه اصلی که پره به آن متصل می‌باشد در نظر می‌گیریم.
در این قسمت یک پره را به عنوان سیستم پیوسته به یک سیستم گسسته تبدیل و روابط موجود را می‌نویسیم:
معادلات بالانس انرژی در گره های اول را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
‏223Q I – KA/L(Ti – Tj) – hpl/2(Ti+Tj/2-Ta)=0
-Qj+KA/L(Ti-Tj)-hpl/2(Ti+Tj/2-Ta)=0
حال روابط فوق را ساده می‌کنیم:
‏224(KA/L+hpl/4)Ti+(-KA/L+hpl/4)Tj=Qi+hpl/2 Ta
(-KA/L+hpl/4)Ti+(KA/L+hpl/4)Tj= – Qj+hpl/2Ta
می‌توانیم این دو معادله را به صورت ماتریسی در آوریم:
‏225[■(KA/L+hpl/4&(-KA)/L+hpl/4@(-KA)/L+hpl/4&KA/L+hpl/4)](Ti¦Tj)=[■(Qi+&hpl/2 Ta@-Qj+&hpl/2 Ta)]
با توجه به اینکه معادله فوق دارای سه مجهول می‌باشد پس به یک معادله دیگر نیاز داریم که از معادله و ارتباط بین Qi,Qj استفاده می‌کنیم
‏226Qi=Qj+hpl(Ti+Tj/2-Ta)
در این مثال یک پره را به عنوان یک المان در نظر گرفتیم و روابط موجود را نوشتیم حال اگر بیش از یک المان در نظر گرفته شود باید پروسه اسمبل کردن نیز طی شود که این را در بخش‌های بعدی مورد بررسی قرار می‌دهیم.
تا کنون مختصر بحثی در مورد آنالیز سیستم‌های گسسته انجام گردید و برای تجزیه و تحلیل مسایل پیچیده مهندسی نیاز به گسسته سازی استاندارد و معادلات حاکم و انتخاب روش حل مناسب می‌باشد که در این قسمت پروژه به این خواهیم پرداخت. روش المان محدود به عنوان یک روش عددی برای حل تقریبی بسیاری از مسایل مهندسی به خصوص انتقال حرارت و سیالات می‌باشد
این روش برای اولین بار در شاخه جامدات به منظور بررسی تنش در سازه های هوایی مرکب استفاده گردید و بلافاصله در زمینه های دیگر مکانیک پیوسته به سرعت گسترش یافت از این روش بیشتر برای مثال‌هایی که راه حل‌های پیچیده دارند استفاده می‌گردد یعنی یک تقریب فیزیکی با مفاهیم ریاضی و ایجاد یک دستگاه معادلات خطی و یا غیر خطی و در نهایت حل مسئله روش‌های مختلفی برای حل مسایل پیچیده از جمله اختلاف محدود حجم محدود و المان محدود بیشترین کاربرد را دارند.
یکی از ساده‌ترین روش‌ها روش اختلاف محدود می‌باشد یعنی معین کردن معادلات دیفرانسیلی برای معادلات مختلف می‌باشد و هر چه نقاط بیشتری مورد نظر قرار گیرد حل دقیق‌تر می‌شود ولی در زمانی که هندسه مسئله نامنظم شود و یا مسئله دارای شرایط مرزی پیچیده گردد اعمال این روش بسیار مشکل می‌شود.
روش عددی دیگری که در حل مسایل مورد استفاده قرار می‌گیرد روش حجم محدود می‌باشد این روش پرکاربردترین روش در مسایل دینامیک سیالات محاسباتی می‌باشد.
روش المان محدود در پایه تقسیم ناحیه مسئله به نواحی کوچک‌تر و پیوسته که المان نامیده می‌شود بنا نهاده شده است و معادلات حاکم به صورت پیوسته تقریب زده می‌شوند و با این تقریب معادلات دیفرانسیل جزئی مرکب به معادلات خطی و غیر خطی دارای چند مجهول و ساده تر تبدیل می‌شوند که اثر آن تبدیل تعداد مجهولات نامحدود به تعداد مجهولات محدود می‌باشد که این مجهولات محدود که مورد محاسبه قرار می‌گیرند را گره می‌نامند خاصیت این روش این است که مرزهای پیچیده را با تقریب خوبی می‌توان در نظر گرفت.
حل عددی مسایل انتقال حرارت بدون مدل سازی فیزیکی امکان پذیر نمی‌باشد و سپس به شبکه بندی مسئله پرداخته و بعد معادلات دیفرانسیل جزئی تقریب زده می‌شود و در انتها با ترکیب این بخش مسئله حل می‌شود.
روش المان محدود به مراحل زیر تقسیم می‌گردد:
1)تقسیم بندی نواحی پیوسته
این مرحله شامل مشخص کردن محل و تعداد گره‌ها یعنی در کل المان‌ها که با یکدیگر هیچ گونه همپوشانی نداشته باشند.
المان‌های با شکل‌های مختلف مانند مثلث یا مربع و یا …در نظر گرفت و هر المان با تعداد گره های مشخص بیان می‌شود و تعداد گره‌ها به نوع المان بستگی دارد .
2)انتخاب توابع درون یاب یا توابع
در این مرحله نوع تابع درون یاب انتخاب می‌شود که تغییرات متغیر میدانی مسئله را روی المان تعیین می‌کند المان با تعداد گره‌ها مشخص می‌شود و تعداد مجهولات هر گره تعیین کننده تغییرات متغیر میدانی در المان است.
3)تخمین معادله(تشکیل معادلات المان)
معادلات ماتریسی در اینجا تعیین می‌شوند و مشخصات المان مورد نظر با تشکیل ماتریس و بردار نیرو بیان می‌شود.
4)اسمبل معادلات المان‌ها
برای بدست آوردن مجهولات تمام معادلات المان‌ها را باید با هم اسمبل کرد یعنی باید ماتریس‌های سفتي و بردارهای نیرو هر المان به صورتی که در ماتریس سفتي و بردار نیرو قرار می‌گیرند که ماتریس منتخب و بردار نیروی نهایی ناحیه مسئله را بیان کنند و سپس شرایط مرزی روی این ماتریس اعمال می‌شود
.
‏227[k]{T}={f} K
ماتريس سفتي و f بردار نيرو نهايي و T مقادير گرهي كه شامل مجهولات می‌باشد.
5)حل دستگاه معادلات
6)محاسبه مقادیر مهم
این مقادیر عموماً به مشتق پارامترها وابسته‌اند و اجزا تنش جریان حرارت و سرعت‌های سیال را در بر می‌گیرد.
المان‌های خطی یک بعدی
بعضی از مسایل مورد بحث را می‌توان از طریق المان‌های محدود یک بعدی تقریب زد نواحی یک بعدی را می‌توان یک خط راست در نظر گرفت و آن را به وسیله گره‌ها به المان‌های کوچک‌تری تقسیم نمود و گره‌ها معمولاً از سمت چپ به راست شماره گذاری می‌شوند.
المان خطی یک خط معلوم و دو گره که هر گره در دو انتهای خط می‌باشد مشخص می‌شوند گره‌ها را به i,j و مقادیر گرهی را Qi,Qj می‌نامیم و دستگاه مختصات گره i مقدار دارد و تغییرات خطی مقادیر در المان به صورت زیر است:
‏228Q=a1+a2x
با فرض اینکه مقدار مورد نظر در دو سر المان دما می‌باشد معادله 2-28 به معادله زیر اصلاح می‌گردد:
‏229T(X)=a1+a2x
با استفاده از دما در دو نقطه می‌توان ثابت‌های a1,a2 را بدست آورد
‏230Ti=a1+a2xi
Tj=a1+a2xj
در نتیجه:
‏231a1= (TiXi-TjXj)/(Xj-Xj)
a2= (Tj-Ti)/(Xj-Xj)
با قرار دادن در معادله 2-29 داريم :
‏232T=Ti[(Xj-X)/(Xj-Xj)]+Tj[(X-Xi)/(Xj-Xi)]
می‌توان معادله فوق را به صورت زیر نیز نوشت :
‏233T=NiTi+NiTj=[Ni Nj](Ti¦Tj)
که Ni,Nj را توابع شکل و یا توابع پایه می‌نامند
‏234T=[N][T]



قیمت: تومان

دسته بندی : پایان نامه ارشد

پاسخ دهید