دانشگاه يزد
دانشکده مهندسی معدن و متالورژی
گروه استخراج معدن
پایان‌نامه جهت دریافت درجه کارشناسی ارشد
مهندسی مکانیک سنگ
مدل سازی ترک های ثانویه با استفاده از تئوری
انشعاب به روش المان مرزی
استاد راهنما:
دکتر محمد فاتحی مرجی
استاد مشاور:
دکتر جواد غلام‌نژاد
پژوهش و نگارش:
مسلم شاهرخی
اسفند ماه 1392
چکیده
شکست ناگهانی و غیرمنتظره بعضی از سازه‌های مهندسی، خسارات مالی و جانبی فراوانی را داشته است. در بررسی علل شکست، به تدریج پژوهشگران دریافتند که طراحی بسیاری از این سازه‌ها بر مبنای تئوری الاستیسیته و مقاومت مصالح درست بوده و عامل شکست ترک‌هایی بودند که در سازه وجود داشته و یا در حین کار ایجاد شده است. بنابراین این نتیجه حاصل شد که طراحی و تحلیل این سازه‌ها تنها بر پایه دو درس ذکر شده موفقیت‌آمیز نبوده است. بر این اساس در دهه دوم قرن بیستم علم جدیدی به نام مکانیک شکست1 پایه‌گذاری شد که تجزیه و تحلیل سازه‌ها را بر مبنای وجود و یا ایجاد ترک بررسی می‌نماید. با توجه به اینکه تئوری مکانیک شکست پایداری سازه‌ها را بر پایه معیارهای انتشار ترک شامل اصل انرژی و مقاومت اجسام در مقابل ترک، بررسی می‌کند، می‌توان با بررسی شرایط برای انتشار ترك، چگونگی انشعاب ترک یا توقف آن به قضاوتی کامل‌تری در رابطه با پایداری یا عدم پایداری سازه‌ها دست یافت. هر گاه انرژی رها شده در اثر گسترش ترک دو یا سه برابر مقاوت ترک گردد ترک ها در دو یا سه شاخه منشعب می گردند. این پژوهش با هدف بررسی تحلیل ترک های ثانویه با استفاده از تئوری انشعاب انجام شده است بدین منظور با استفاده از معادله ای که به دست امده و شرایط فیزیکی یک ترک به ان داده شده است نقاط انشعاب اول و دوم ترک برای چهار نوع سنگ به دست امده است و با نتایج به دست امده از تئوری مکانیک شکست مقایسه شده است که دیده شده همخوانی خوبی با نتایج حاصل از تئوری مکانیک شکست دارد.
فهرست مطالب
1فصل اول مقدمه1
1 – 1 مقدمه2
1 – 2 ترک در سازه3
1 -3 تاریخچه کارهای انجام شده6
2فصل دوم مکانیک شکست8
2 – 1 مقدمه9
2 – 2 روش تعادل انرژی گریفیث9
2 – 3 تئوری اصلاح شده گریفیث (اصل ایروین – اروان)16
2 – 4 ترک های گریفیث17
2 – 5 مفهوم ترک17
2 – 6 مشخصات ترک18
2 – 7 نرخ آزاد سازی انرژی کرنشی ( G )19
2 – 8 مقاومت ترک ( R )20
2 – 9 مقاومت ترک یا منحنی R20
2 – 9 – 1 مفهوم منحنی R21
2 – 9 – 2 منحنی R مستقل از طول ترک اولیه24
2 – 9 – 3 منحنی R بر حسب فاکتور شدت تنش24
2 – 9 – 4 تاثیر ضخامت نمونه روی منحنی R25
2 – 10 فاکتور شدت تنش استاتیکی26
2 – 11 فاکتور شدت تنش دینامیکی27
2 – 12 مدهاي شكست29
2 – 13 انشعاب ترک در مکانیک شکست30
چند تعریف31
2 – 14 سرعت ترک و انرژی جنبشی32
2 – 15 شدت تنش دینامیکی و نرخ آزاد شدن انرژی39
2 – 16 مفهوم انشعاب ترک42
2 – 17 انشعاب متقارن برای ترک مد I46
50
3فصل سوم تئوری انشعاب50
3 – 1 مقدمه51
3- 2 تکرار توابع51
3 – 3 چرخه ها52
3 – 4 نوع چرخه ها52
3 – 5 تحلیل گرافیکی55
3 – 6 نمودار فازی61
3 – 7 محاسبات نقاط ثابت62
3 – 8 نقاط دوره ای67
3 – 9 انشعاب در معادلات ریاضی70
3 – 10 دینامیک نقشه های کوادراتیک70
3 – 11 انشعاب زینی76
3 – 12 انشعاب دو گانه تناوبی81
فصل چهارم تحلیل انشعاب ترک با استفاده از تئوری انشعاب87
4 – 1 مقدمه88
4 – 2 روش حل مساله88
4 – 3 محاسبات برای بازالت91
4 – 4 محاسبات برای Silt stone95
4 – 5 محاسبات برای گرانیت98
4 – 6 محاسبات برای Granite westerly101
4 – 7 محاسبات برای بازالت در تنش MPa30105
4 – 8 محاسبات برای بازالت در تنش MPa 20108
5فصل پنجم نتیجه گیری112
6منابع و مآخذ114
فهرست اشکال
شکل 1- 1: منحنی رشد ترک بر حسب زمان و دوره بارگذاری.4
شکل 1-2: منحنی مقاومت باقیمانده سازه بر حسب زمان و اندازه ترک.4
شکل 2 – 1 : صفحه با ابعاد بی‌نهایت و ضخامت واحد شامل یک ترک مرکزی عمقی10
شکل2 – 2 : یک حفره بیضوی در یک صفحه بی نهایت در معرض کشش یکنواخت در بی نهایت..18
شکل 2 – 3 : نمایش نموداری از شرایط آغازش ترک برای مد یک ترک خوردگی تحت تنش صفحه ای22
شکل 2 – 4 : تفسیر نموداری از منحنی R بر حسب G برای نمونه ای شامل یک ترک با طول اولیه ai 24
شکل 2 – 5 : اثر طول اولیه ترک روی منحنی R 24
شکل 2 – 6 : بیان منحنی R بر حسب فاکتور شدت تنش26
شکل 2 – 7 : اثر ضخامت نمونه روی منحنی R 27
شکل 2-1 : روش‌های اصلی بارگذاری و جابجایی سطوح ترک30
شکل 3 – 1 : نشان دادن انرژی جنبشی 33
شکل 3 – 2 : افزایش نرخ پیشرفت ترک بر حسب اندازه ترک 36
شکل 3 – 3 : سرعت های ترک اندازه گیری شده در یک ورق فولادی در حالت کرنش صفحه ای38
شکل 3– 4 : تنش ها روی یک المان ماده 40
شکل 3 – 5 : نرخ رهاشدن انرژی در حالتهای استاتیکی و دینامیکی41
شکل 3 – 6 : منشعب شدن ترک ها 43
شکل 3 – 7 : گسترش نیافتن شاخه های ترک 45
شکل 3 – 8 : انشعاب متقارن 46
شکل 3 – 9 : یک مثال تجربی از انشعاب ترک مد I 47
شکل 3 – 10 : side – branching برای ترک مد I 48
شکل 3 – 11 : یک مثال تجربی از crack side – branching از ترک مد I48
شکل 3 – 1: نقطه ثابت تابع Sx=sin⁡x صفر است.52
شکل 3 – 2: نقطه ثابت تابع Cx=cosx ، 739085/0 است.52
شکل 3 -3 : تحلیل گرافیکی55
شکل 3 -4 : تحلیل گرافیکی تابع Fx=x55
شکل 3 – 5 : تحلیل گرافیکی تابع Cx=cosx56
شکل 3 – 6 الف : تحلیل گرافیکی تابع Fx= x2-1.1 57
شکل 3 – 6 ب : تحلیل گرافیکی تابع Fx= x2-1.157
شکل 3- 7 : تحلیل گرافیکی تابع Fx=4x(1-x)58
شکل 3 – 8 : تحلیل چرخه ای تابع Fx= x3 برای (الف): x<1 و (ب): x>159
شکل 3 – 9 : نمودار فازی تابع Fx= x3 60
شکل 3 – 10 : نمودار فازی تابع Fx=x260
شکل 3 – 11 : تحلیل گرافیکی ( الف ) تابع Ax=∝x و 0<α<1 ( ب) تابع Bx=βx و β>1.61
شکل 3 – 12 : تحلیل گرافیکی تابع (الف ) Ax=∝x و -1<α<0 ( ب) Bx=βx و β< -1 .62
شکل 3 – 13 : در هر دو مورد x0 نقطه ثابت جذب کننده است.63
شکل 3 – 14 : نمودار فازی ممکن نزدیک یک نقطه ثابت جذب کننده (الف): 0<F'(x0)<1 (ب): -1<F'(x0)<0 .64
شکل 3 – 15 : در هر دو مورد x0 نقطه ثابت دفع کننده است.65
شکل 3 – 16 : نمودار فازی اطراف یک نقطه ثابت دفع کننده .65
شکل 3 – 17 : تابع Fx=2×1-x یک نقطه ثابت جذب کننده در 12 و یک نقطه ثابت دفع کننده در صفر دارد65
شکل 3 – 18 : نموار فازی نزدیک 0 برای (الف) تابع Fx=x2 ، (ب) تابع Fx=x3 ، (ج) تابع Fx=-x3 . در همه موارد F0=0 و F’0=0 .67
شکل 3 – 19 : یک چرخه جذب کننده با تناوب دو برای Fx=x2-1 .67
شکل 3 – 20 : نمودار تکرار دوم تابع Fx=x2-1 .68
شکل 3 – 21 : اگر c≤14 ، هر x با x>p+ یا x<-p+ یک چرخه داردکه به بی نهایت تمایل دارد.72
شکل 3- 22 : تحلیل گرافیکی نشان می دهد که همه چرخه های Qc در بازه -p+<x<p+ به p- تمایل دارند موقعی که -34<c<14 .73
شکل 3 – 23 : انشعاب زینی معمولی .76
شکل 3 – 24 : نمودار فازی برای (الف) λ<λ0 ، (ب) λ=λ0 و (ج) λ>λ0 .77
3 – 25 : انشعاب زینی در تابع نمایی Eλx=ex+λ .77
شکل 3- 26 : نمودار انشعاب برای تابع Qc(x)=x2+c .78
شکل 3 – 27 : نمودار انشعاب برای (الف) Fλx=λx(1-x) ( فقط برای λ>0 ) و (ب) Eλx=ex+λ.79
شکل 3 – 28 : برای c<-34 ، Qc یک نقطه ثابت دفع کننده دارد و یک چرخه دوگانه وجود دارد اما برای c>-34 یک نقطه ثابت جذب کننده دارد .80
شکل 3 – 29 : نمودار فازی نزدیک یک نقطه انشعاب دوگانه تناوبی برای تابع Qc.81
شکل 3 – 30 : نمودار Qc2 نزدیک انشعاب دوگانه تناوبی.82
شکل 3 – 31 : نمودار انشعاب برای تابع Qc.82
شکل 3 – 32 : نمودار انشعاب دوگانه تناوبی برای خانواده Fλx=λx-x3 .83
شکل 3 – 33 : نمودار انشعاب برای λx-x3.84
شکل 4 – 1: منشعب شدن ترک ها88
شکل 4 – 2: نشان دادن انرژی جنبشی.89
شکل 4 – 3 نقاط انشعاب برای بازالت94
شکل 4 – 4 نقاط انشعاب برای siltstone97
شکل 4 – 5 : نقاط انشعاب گرانیت100
شکل 4 – 6 : نقاط انشعاب برای Westerly Granite103
شکل 4 – 7 : نقاط انشعاب برای بازالت106
شکل 4 – 8 : نقاط انشعاب برای بازالت110
فهرست جداول
جدول ( 3– 1 ) : سرعت انتشار ترک در بعضی مواد37
جدول (4 – 1 ) : پارامترهای بازالت91
جدول (4 – 2 ) نقاط انشعاب اول و دوم بازالت 92
جدول (4 – 3 ) : پارامترهای Silt stone.95
جدول (4 – 4 ) نقاط انشعاب اول و دوم Silt stone 96
جدول (4 – 5 ) : پارامترهای گرانیت98
جدول (4 – 6) نقاط انشعاب اول و دوم گرانیت99
جدول (4 – 7 ) : پارامترهای Granite westerly101
جدول (4 – 8 ) نقاط انشعاب اول و دوم westerly Granite102
جدول (4 – 9 ) : پارامترهای بازالت .105
جدول (4 – 10) نقاط انشعاب اول و دوم بازالت 106
جدول (4 – 11 ) : پارامترهای بازالت 108
جدول (4 – 12 ) نقاط انشعاب اول و دوم بازالت 109
فصل اول مقدمه
مقدمه

1 – 1 مقدمه
علی رغم رفاه و آسایشی که دانش فنی برای بشر به وجود اورده است متاسفانه شکست ناگهانی و غیر منتظره بعضی سازه‌های مهندسی خسارات مالی و جانی فراوانی را در برداشته است. به عنوان مثال گزارش ناسا2 در سال 1976 ، خسارات ناشی از شکست سازه ها و کوششهای جلوگیری از ان را سالانه حدود 119 میلیارد دلار برای امریکا هزینه داشته است. منظور کردن جان انسانهایی که در این حوادث از دست رفته اند بر اهمیت این موضوع می افزاید
کاربرد وسیع (ولی نه بطور کاملاً صحیح) فلزات در قرن 19 موجب حوادث فراوان و قربانیان زیادی گردید. بعنوان مثال : در دهه 1870 – 1860 حوادث ناگوار در خطوط راه آهن موجب مرگ 200 نفر از مردم انگلیس در هر سال شده است. اکثر این حوادث در اثر شکست چرخ های قطار ، ریل یا محورها …. بوده است.
حوادثی در طول 200 سال اخیر اتفاق افتاده است، توسط آندرسون3 به رشته تحریر در آمده است. برخی از این حوادث عبارتند از:
در مارس 1935 حدود 700 نفر برای تماشای یک مسابقه قایق‌سواری روی پل معلق مونتروس4 گرد آمده بودند. در اثنای مسابقه یکی از زنجیرهای گسیخته شده و عده زیادی جان سپردند.
در 22 ژانویه 1866 سقوط قسمتی از سقف ایستگاه راه‌آهن منچستر، موجب مرگ دو نفر گردید. علت حادثه شکست یک عضو چدنی بوده است.
در بررسی علل شکست پژوهشگران دریافتند که طراحی بسیاری از این سازه‌ها بر مبنای تئوری الاستیسیته و مقاومت مصالح درست بوده و عامل شکست ترک‌هایی بودند که در سازه وجود داشته و یا در حین کار ایجاد شده است. بنابراین این نتیجه حاصل شد که طراحی و تحلیل این سازه‌ها تنها بر پایه دو درس ذکر شده موفقیت‌آمیز نبوده است. بر این اساس در دهه دوم قرن بیستم علم جدیدی به نام مکانیک شکست5 پایه‌گذاری شد که تجزیه و تحلیل سازه‌ها را بر مبنای وجود و یا ایجاد ترک بررسی می‌نماید. کشف معایب و نواقص موجود در مصالح و رفع آنها مانع بروز بعضی حوادث ناگوار می‌گردد. ظهور روش‌های تولید مواد همراه با گسترش علم مواد، تعداد حوادث را به سطح پایین‌تر و قابل قبول‌تر رسانده است. اغلب شکست‌ها تحت تنش‌های پایین اتفاق افتاده است. تحقیقات نشان می‌دهد که عامل این شکست‌ها معایبی مثل ترک‌های ریز6 می‌باشد . [1]
1 – 2 ترک در سازه
ترکی را در یک سازه در نظر بگیرید. در اثر تکرار بارهای متناوب و یا بخاطر ترکیبی از بار و اثرات محیط این ترک با زمان رشد می کند. با افزایش طول ترک، تمرکز تنش بیشتری در آن ایجاد می گردد. با افزایش تمرکز تنش، نرخ سرعت گسترش ترک با زمان افزایش می یابد. انتشار ترک به عنوان تابعی از زمان در شکل ( 1 – 1 ) رسم شده است. بخاطر وجود ترک مقاومت سازه کاهش می یابد، ممکن است این مقاومت کمتر از مقاومتی باشد که سازه برای آن طراحی شده است. همان طور که در شکل ( 1- 2 ) مشهود است مقاومت سازه با افزایش ترک به شدت کاهش می یابد. پس از گذشت زمان مشخصی مقاومت سازه بحدی کاهش می یابدکه دیگر سازه تاب تحمل بارهای ناگهانی زیاد را ندارد و ممکن است سازه در اثر ان ها شکسته شود.
شکل 1- 1: منحنی رشد ترک بر حسب زمان و دوره بارگذاری [1].
شکل 1-2: منحنی مقاومت باقیمانده سازه بر حسب زمان و اندازه ترک [1].
اگر نیرو های ناگهانی زیاد بر سیستم اعمال نگردد ترک به رشد خود ادامه می دهد و مقاومت باقیمانده سازه آنقدر کاهش می یابد بطوریکه سیستم تحت بار سرویس گسیخته می گردد [1].
بعضی از سازه ها برای بارهای زیاد طراحی شده اند. این بارها بحد کافی بزرگ هستند که بتوانند ترک هایی را در سازه ایجاد کنند. بخصوص هنگامیکه معایب اولیه یا تمرکز تنش در سازه وجود دارند. طراح بایستی احتمال ترک برداشتن و در نتیجه فروپاشی سازه در اثر این عامل را مد نظر داشته باشد. این نکته این مطلب را می رساند که هر سازه یک عمر معین و مشخصی دارد. البته این احتمال وقوع شکست در تمام طول عمر قطعه باید از یک حد قابل قبولی پایین تر باشد. برای رسیدن به این هدف باید بتوان سرعت پیشرفت ترک و همچنین سرعت کاهش مقاومت باقیمانده سازه را پیش بینی کرد. انجام این پیش بینی ها ( پیش بینی سرعت افزایش اندازه ترک و پیش بینی کاهش مقاومت سازه ) و همچنین توسعه روش های پیش بینی از اهداف مکانیک شکست می باشد. با در نظر گرفتن شکل ( 1 – 1 ) مکانیک شکست باید قادر باشد که سوالات زیر را پاسخ دهد[1] :
مقاومت باقیمانده یک سازه بصورت تابعی از اندازه ترک چگونه است؟
اندازه بحرانی ترک در سازه چقدر است؟
چه زمانی طول می‌کشد تا یک ترک با طول مشخص به اندازه بحرانی آن برسد؟
معایب (ترک) اولیه با چه طولی در شروع عمر یک قطعه می‌تواند وجود داشته باشد؟
در چه فواصل زمانی، سازه از لحاظ ارزیابی ترک مورد بررسی قرار گیرد؟
علم مکانیک شکست پاسخ‌های کاملی برای برخی و جواب‌های مفیدی برای بقیه سؤالات فوق دارد.
حوزه مکانیک شکست به دو بخش کلی بخش تقسیم شده است [1]:
علم مواد روند شکست را در مقیاس اتم‌ها و نابجایی‌ها بررسی می‌کند.
مکانیک کاربردی میدان تنش در نوک ترک، تغییر شکل الاستیک و پلاستیک در مجاورت نوک ترک را بررسی می‌کند.
برای کابرد صحیح مکانیک شکست در مسائل مهندسی لازم است که یک دانش کلی از هر یک از این قسمت‌ها داشته باشیم.
در مقاومت مصالح پارامتر تنش (مقاومت) معرف پایداری و تحمل یک عضو در مقابل بارهای وارده می‌باشد. ولی از آنجا که در مکانیک شکست همیشه فرض بر این است که هر قطعه‌ای دارای یک سری عیب و ترک‌های کوچک می‌باشد، پارامتر تنش به تنهایی برای بیان تحمل یک عضو کافی نیست. زیرا چنانچه دو عضو هم‌جنس و با ابعاد کاملاً مساوی را در نظر بگیریم، به‌طوری که یکی دارای ترک کوچک‌تر و دیگری حاوی ترک بزرگ‌تری باشد، بدیهی است که دومی خیلی زودتر از اولی می‌شکند. پس باید پارامتری را در نظر گرفت، که معرف طول ترک هم باشد. این پارامتر که فاکتور شدت تنش نام دارد، در ادامه به طور مفصل بررسی می‌شود.
به طور کلی برای گسترش ترک دو عامل مهم وجود دارد [1]:
الف- اندازه ترک
ب- زمان برای انتشار ترک در جسم
1 -3 تاریخچه کارهای انجام شده
ناکاسا7 و همکارانش شرایط انشعاب ترک در شکست تاخیری را مورد بررسی قرار دادند[2]. آکی8 و همکارانش انشعاب ترک تحت فشار هیدرو استاتیک را بررسی کردند نتیجه گرفتند که طول ترک در انشعاب به طور قابل ملاحظه ای با فشارهای هیدرواستاتیک افزایش می یابد[3]. جاهن پی9 و همکارانش اثرهای دینامیکی در مد III انشعاب ترک را مورد بررسی قرار دادند که نشان داده شد که فاکتور شدت تنش دینامیکی یک شاخه به طور قابل ملاحظه ای با تغییر در سرعت و جهت داری بقیه و با زاویه امواج تنش تغییر می کند[4]. پاپادپولس10 انشعاب دینامیکی ترک را با استفاده از معیار Det مطالعه کرد که بر اساس این معیار ترک در جهت ماکزیمم مقدار عامل تعیین کننده تانسور تنش گسترش می یابد[5]. آدا – بدیا11 انتشار دینامیکی ترک انشعاب یافته را تحت بارگذاری غیرصفحه ای بررسی کرد که نشان داده شد که مینیمم سرعت ترک منفرد اولیه که اجازه انشعاب می یابد برابر C 39/0 است که C سرعت امواج برشی است و در لحظه انشعاب ترک های انشعاب یافته مشابه در یک سرعت در حال کاهش با زاویه انشعاب تقریبا 〖40〗^° انتشار می یابند[6]. ژانگ12 و همکارانش انشعاب و انتشار ترک مد ترکیبی در مواد شکل پذیر را مورد بررسی قرار دادند مدل رشد ترک خستگی را پیشنهاد کردند اثر مد ترکیبی روی نرخ رشد ترک در این مدل بررسی شد نتیجه شد که نتایج عددی این مدل با نتایج آزمایشگاهی تطابق خوبی دارند[7]. ژو13 و همکارانش شرایط انشعاب الگوی ترک در آرایه دوره ای مستطیلی بررسی کردند[8]. ژو و ایکسی انشعاب سیستم ترک هایی که در یک خط مستقیم تحت فشار دینامیکی قرار گرفته اند را بررسی کردند برای این ترک ها که تحت فشارهای دینامیکی بارگذاری شده اند الگوی رشد یکنواخت ترک موقعی که نسبت فاصله داری / طول رشد ترک بزرگتر از مقدار بحرانی اش است منجر به الگوی رشد غیر یکنواخت ترک می شود[9]. لی14 و همکارانش انشعاب ترک چندگانه برای نوک ترک مد I را در جامدهای ایزوتروپ مدل سازی کردند [10] . در این پژوهش به تحلیل ترک های ثانویه با استفاده از تئوری انشعاب پرداخته شده است که در ادامه در فصل دوم مفاهیم کلی تئوری مکانیک شکست و انشعاب ترک بیان می‌شود، در فصل سوم تئوری انشعاب توضیح داده شده است و در فصل چهارم انشعاب اول و دوم در ترک مد I در چهار نوع سنگ با استفاده از روش تئوری انشعا ب مورد بررسی قرار گرفته است و با نتایج به دست آمده از روش تئوری مکانیک شکست مقایسه گردیده است و در نهایت در فصل پنجم نتایج و پیشنهادات این پژوهش ارائه می‌شود.
فصل دوم مکانیک شکست
مکانیک شکست
2 – 1 مقدمه
شکست یک سازه در شرایطی که تنش وارده کمتر از تنش تسلیم قطعه باشد، اغلب به ترک‌ها یا عیوب شبه ترکی در سازه نسبت داده می‌شود. چنین شکست‌هایی نشان می‌دهند که طراحی با در نظر گرفتن فقط تسلیم، انسجام سازه‌ای عضو تحت شرایط بارگذاری در حین کار را تضمین نمی‌کند. مطالعات سازه‌ای که به مکانیک کاربردی اجسام ترک‌دار می‌پردازد، علم مکانیک شکست نامیده می‌شود. علم مکانیک شکست بیشتر بر روی جلوگیری از شکست ترد متمرکز است. به طور خاص، ایده‌آل سازی‌هایی که بر پایه نادیده گرفتن پلاستیسیته نوک ترک انجام می‌شود، مکانیک شکست الاستیک خطی15 نامیده می‌شود که اصول آن توسط گریفیث16 معرفی شد [11].
گریفیث در سال 1921 اختلاف بین میزان مقاومت تئوری شیشه و میزان مقاومت اندازه‌گیری شده در آزمایشگاه را به دلیل تنش‌های بسیار بالا در مجاورت ریزترک‌ها دانسته و تئوری شکست ترد خود را بر اساس مفهوم انرژی بیان نمود. وی با استفاده از نظریه‌های بنیادی انرژی در مکانیک کلاسیک و ترمودینامیک نشان داد که یک تعادل انرژی ساده وجود دارد. تعادلی بین کاهش انرژی پتانسیل در جسم تحت تنش در اثر گسترش ترک (UP) و افزایش انرژی سطح در اثر افزایش سطح ترک (Uγ). با روش تعادل انرژی گریفیث، می‌توان مقاومت نظری مواد ترد را پیش‌بینی کرد و رابطه‌ای بین مقاومت شکست و اندازه ترک ارائه داد.
2 – 2 روش تعادل انرژی گریفیث
صفحه‌ای بی‌انتها با ضخامت واحد در نظر بگیرید که حاوی یک ترک به طول 2a باشد و این ترک در تمام عمق ضخامت صفحه باشد. صفحه تحت یک تنش غشایی σ مطابق شکل(2 – 1 ) است. در این مورد، باید انرژی کل سیستم را به چهار مؤلفه تقسیم کنیم. اولین آن انرژی کرنش الاستیک اولیه (Ui) صفحه بارگذاری شده در واحد ضخامت در حالت اولیه بدون ترک است. یعنی داریم [11]:
(2-1) که مقداری ثابت است. دومین مؤلفه، انرژی کرنش الاستیک رها شده (Ua) است که با ایجاد ترکی به طول 2a و رها شدن بالا و پایین ترک به وجود می‌آید. گریفیث نشان داد که Ua برای واحد ضخامت صفحه می‌تواند چنین نوشته شود [11]:
(2-2)عبارت سوم انرژی، کار انجام شده بوسیله نیروهای خارجی (Uw) را که به شکل زیر توصیف می‌شود را در‌بر‌می‌گیرد[11].
(2-3) که در آن δ تغییر مکان کل مرزهای بارگذاری و F بار اعمال شده در واحد ضخامت است.

شکل 2 – 1 : صفحه با ابعاد بی‌نهایت و ضخامت واحد شامل یک ترک مرکزی عمقی [11]

معمولاً دو حالت شرایط بارگذاری می‌تواند بوجود بیاید:
الف) تغییر مکان ثابت (گیره نگهدارنده نمونه ثابت شده است)
ب) بار (نیرو) ثابت
در حالت اول بوسیله نیروی خارجی کاری انجام نخواهد شد، چون dy=0. اکنون چون گسترش ترک با کاهش سفتی قطعه یا وارفتگی همراه است، بنابراین بار اعمال شده بر گیره‌ها کاهش خواهد یافت و بدین ترتیب، کاهش در انرژی کرنش الاستیک رها شده (Ua) بوجود می‌آید. یعنی
(2-4)اما در وضعیت بار ثابت، کار انجام شده بوسیله نیرو، انرژی کرنش الاستیک رها شده را افزایش می‌دهد و در همین ارتباط:
(2-5)بنابراین انرژی داخلی یا پتانسیل صفحه (U) می‌تواند چنین تعریف شود[11]:
(2- 6)در حالت تغییر مکان ثابت
در حالت بار ثابت باید توجه شود که Uw باید از عبارت‌های انرژی برگشت‌پذیر تفریق شود. چون این مقدار بخشی از انرژی داخلی یا پتانسیل صفحه را تشکیل نمی‌دهد.
در آخر، چهارمین قسمت مربوط به افزایش انرژی الاستیک سطح می‌شود که در اثر تشکیل سطوح ترک حاصل شده و چنین نوشته می شود:
(2-7)در اینجا γe انرژی الاستیک سطحی جسم در واحد ضخامت است. معادله (2-7) دلالت بر این دارد که Uγ به شکل خطی با طول ترک (a) تغییر می‌کند، چون γe یک خاصیت ثابت ماده است. به بیان فیزیکی این مطلب عبارتست از اینکه انرژی مورد نیاز برای شکستن دو پیوند اتمی در نوک ترک دو برابر انرژی جهت شکستن یکی از آنهاست. روشن است که این نوع انرژی از نوع غیرقابل برگشت است و بنابراین به عنوان بخشی از انرژی پتانسیل یا داخلی سیستم نخواهد بود. اکنون ما در موقعیتی هستیم که می‌خواهیم معادله‌ای برای انرژی الاستیک کل یک صفحه ترک‌دار بنویسیم [1]:
(2-8)متغیرهای خطی و غیرخطی Uγ و Ua همراه با تغییرات مجموع آنها به عنوان تابعی از طول ترک (a) برای شرایط تغییر مکان ثابت (گیره ثابت) و مشتق dUt / da آورده شده است. برای یک ترک در حالت تعادل تحت شرایط تغییر مکان ثابت خواهیم داشت:
(2-9)

روشن است که افزایش طول ترک در محدودهa ≤ aC 0 ≤ ، یک ورودی انرژی به سیستم را طلب می‌کند که در این حالت رشد پایدار ترک را داریم. اما برای a > aC انرژی کرنشی آزاد شده در یک گسترش رشد ترک، از انرژی جذب شده بوسیله ایجاد سطوح جدید ترک بیشتر است که بنابراین به رشد ناپایدار می‌رسیم. در حالت تعادل داریم[1] :
برای حالت تنش صفحه ای σ√πa=√(2Eγ_e )
( 2 – 10 )
برای حالت کرنش صفحه ای σ√πa=√(2Eγ_e (1-v^2))
معادلات فوق نشان می‌دهد که رشد پایدار و ناپایدار در مواد ترد ایده‌آل به وسیله تنش σ و ریشه دوم طول ترک (a) در طرف چپ و خواص ماده (E و γe) در طرف راست کنترل می‌شود. در نتیجه معادله فوق نشان دهنده این است که رشد بحرانی یا ناپایدار ترک در چنین مواردی هنگامی اتفاق می‌افتد که مقدار (πa)1/2σ به یک مقدار بحرانی برسد. در اینجا، این مقدار را ضریب بحرانی شدت تنش (C(πa)1/2σKC=) می‌نامیم که در آن Cσ تنش شکست بوده و بوسیله رابطه زیر داده می‌شود.
(2-11) برای حالت تنش صفحه‌ای
برای حالت کرنش صفحه‌ای این عبارت بوسیله گریفیث به طور ناصحیح بصورت زیر داده شده بود [11]:
(2-12) عبارت (2-10) را می‌توان همچنین به شکل زیر نوشت:
(2-13) برای حالت تنش صفحه‌ای
برای حالت کرنش صفحه‌ای سمت چپ معادلات (2-13) نشان دهنده انرژی الاستیک موجود در واحد سطح ترک برای گسترش ترک (G) می‌باشد. در حالی که طرف راست، انرژی الاستیک سطحی مربوط به سطوح ترک را برای حالت تنش و کرنش صفحه‌ای ارائه می‌کند. این مقدار انرژی مورد نیاز برای گسترش رشد ترک است و مقیاسی برای مقاومت در برابر ایجاد ترک (R) است. بنابراین شرط مورد نیاز برای رشد ناپایدار ترک به این شکل وجود دارد که:
( 2 – 14 ) G_c≥R

که در آن :
برای حالت تنش صفحه ای G_c=(πσ_c a)/E
( 2 – 15 )
برای حالت کرنش صفحه ای G_c=(πσ_c a)/E(1-v^2)
R=(∂U_γ)/∂a
برای حالت بار ثابت که قبلاً توضیح داده شد، معادله (2-8) با مثبت بکار خواهد رفت، یعنی
(2-16) چون ناپایداری ترک هنگامی حاصل می‌شود که:
داریم:

یا به عبارت دیگر:
(2-17) یعنی:
اکنون در موقعیتی قرار داریم که می‌توانیم G را به عنوان نرخ رهایی انرژی تعریف کنیم و این می‌تواند هم نرخ رهایی انرژی کرنشی یا نرخ رهایی انرژی پتانسیل باشد که بستگی به این دارد که ما به ترتیب در شرایط تغییر مکان ثابت و یا بار ثابت قرار داشته باشیم. بنابرای G می‌تواند به عنوان انرژی آزاد شده برای واحد اضافه طول ترک در واحد ضخامت جسم تعریف شود که همچنین نیروی پیشران ترک نامیده می‌شود. باید توجه کرد که نرخ کار در اینجا مرتبط با زمان نیست.
2 – 3 تئوری اصلاح شده گریفیث (اصل ایروین – اروان)
تئوری گریفیث برای موادی با تغییر شکل پلاستیک قبلی ناچیز یا اصلاً بدون هیچ گونه تغییر شکل در نزدیکی نوک ترک، معتبر است. باید اشاره شود که بیشتر مواد مهندسی متحمل مقدار پلاستیسیته محدودی در نوک ترک می‌شوند. در همین رابطه، اگر رابطه گریفیث به شکلی که هست به کار برده شود، نهایتاً مقادیر بالاتری را برای انرژی سطحی ترمودینامیکی یعنی γe به ما می‌دهد. در معادله گریفیث باید اصلاحاتی بوجود آید. این مسئله در قسمت شکست یک قطعه ترد به اندازه درزه و ترک بستگی دارد. بنابراین، اگر بخواهیم یک ماده ترد را مقاوم سازیم، باید اندازه ترک‌های ذاتی در قطعه را به کمینه مقدار خود کاهش دهیم. روشن است که یکی از راه‌های رسیدن به این موضوع کاهش دادن سطح مقطع عمود بر بار کششی اعمال شده است. این بدان معناست که ما احتمال یافتن یک ترک بزرگ را که عمود بر بار اعمال شده باشد، کاهش می‌دهیم. این مطلب همچنین توضیح دهنده علت مقاومت‌های بالای شکست در فیبرها می‌باشد.
همان گونه که گفته شد، در عمل اکثر مواد مهندسی قدری نرمی و انعطاف‌پذیری از خود نشان می‌دهند و بنابراین با قدری تغییر شکل پلاستیک همراه هستند. این مطلب لزوم اصلاحاتی را در تئوری گریفیث ایجاب می‌کند. ایروین و اروان این تئوری را که برای مواد کاملاً ترد می‌باشد، بسط دادند تا مقدار محدودی تغییر شکل پلاستیک در نوک ترک برای اکثر مواد مهندسی منظور شود. فرضیه ایروین مقاومت در برابر رشد ترک در مواد مهندسی را برابر حاصل جمع انرژی الاستیک (γe) و اتلاف پلاستیک (γP ،کار پلاستیک) که همراه با رشد ترک است، می‌داند. بنابراین رابطه (2-13) به صورت زیر اصلاح می‌گردد [13,12]:
(2-18)برای مواد نرم و شکل‌پذیر γP خیلی بزرگ‌تر از γe بوده و مقاومت در برابر ایجاد ترک (R) در این حالت عمدتاً توسط اتلاف پلاستیک کنترل می‌شود. این بدان معنی است که برای فلزات R عمدتاً انرژی پلاستیک است. معیار انرژی بالا برای رشد ترک لازم است ولی کافی نیست. اروان تصریح کرده است که شرایط محدود کننده باید برای وضعیت‌هایی که اصلاحات بالا در موردشان می‌تواند بکار رود، وضع شود. او متذکر می‌شود که روش اصلاح شده فقط در مواردی که تغییر شکل پلاستیک محدود به یک منطقه کوچک در جوار نوک ترک می‌باشد، می‌تواند بکار رود [12].
2 – 4 ترک های گریفیث
براساس این واقعیت که مقاومت کششی یک ماده واقعی خیلی کمتر از مقدار پیش بینی شده شده آن است گریفیث(1921 ) فرض کرد که مواد شکننده معمولی حتما شامل ترک های بزرگ متعدد، ترک های ریز یا دیگر ناپیوستگی های ناهمگن اند که با یک جهت داری یکنواختی سرتاسر حجم ماده توزیع شده اند. این ترک ها خیلی کوچک اند تا به وسیله وسایل معمولی آشکار شوند و به عنوان تمرکز دهنده تنش به کار می روند در نتیجه آغاز ترک به وسیله تمرکز تنش در انتهای این ترک های داخلی سبب می شود. این ترک ها، ترک های گریفیث نامیده شده اند. گریفیث برای آزمایش ترک های فرضی اش یک سری آزمایش روی مقاومت کششی فیبرهای شیشه ای و اندازه نمونه ای را که روی مقاومت تاثیر می گذارد را پیدا کرد: نمونه نازک تر مقاومت کششی بیشتری دارد چون نمونه نازک تر ترک های کمتری دارد.
به ویژه گریفیث با یک صفحه نازک شامل حفره باریک بیضوی شروع کرد تا ترک های ذاتی را شبیه سازی کند و مقاومت شکست مواد شکننده را پیش بینی کند. بر اساس تحلیل تنش اینگلیس17(1913 )یک رابطه بین مقاومت شکست و اندازه ترک به وجود آمد. مدل تحلیل گریفیث در شکل( 2- 1 ) توضیح داده شده است که یک صفحه نازک شامل یک بیضی نازک در معرض تنش کششی یکنواخت تک محوره در بی نهایت است[14].
2 – 5 مفهوم ترک
ضروری است تا ترک را در مواد شکننده تعریف کنیم. ترک در این متن یک مفهوم ریاضی است. یک ترک می تواند هم در ماده ( ترک داخلی ) یا در بخشی از مرزهای آن ( ترک های مرزی یا گوشه ای ) واقع شده باشد. بدون شک حفره بیضوی شبیه سازی شده گریفیث یک ترک نیست اما با یک سری محدودیت ها می توند ترک در نظر گرفته شود. از شکل( 2- 2 ) این واضح است که که شعاع انحناع منحنی در نقطه C تو سط رابطه زیر داده می شود:
( 2 – 19 ) ρ= b^2/a
ρ : شعاع انحنا در نقطه C
a و b به ترتیب طول بزرگتر و کوچکتر نیم محور اند .
که دیده می شود ρ∝ 1/a و موقعی که a →∞ ، ρ→0 . بنابراین اصطلاح ترک می تواند به طور ریاضی به عنوان یک بیضی بی نهایت باریک تعریف شود[14].
2 – 6 مشخصات ترک
از نظر فیزیکی تشکیل یک ترک فرایند تغییر شکل غیر هموژن است. ترک ها، شکست ها، گسل ها، همگی یک معنی دارند که جابجایی ناپیوستگی ها را نشان می دهند. گریفیث سنگ را در نظر نگرفت اما مدارکی وجود دارد که ترک هایی مانند ناپیوستگی ها در سنگ وجود دارد به ویژه وجود میکرو ترک ها در مرز دانه ها و داخل دانه ها همان طور که توسط پترسون18 ) 1978 (نشان داده شده است اولی ترک های اینترگرنولار19( نوع A ) و دومی ترک های ترنس گرنولار20 نامیده می شوند. این ترک ها یا در طول تشکیل سنگ های پوسته یا بعد از تجربه تنش های فشاری یا حرارتی تشکیل شده اند. ترک ها در سنگ می توانند به بزرگی صدها هزار متر باشند وقتی با گسل ها مواجه می شود . از طرف دیگر ترک در سنگ می توانند همچنین به کوچکی یک میکرون مانند سنگ های اینترگرنولار باشند. اما به طور کلی بیشتر سنگ ها دانه ای و متخلخل اند که نشان دهنده وجود ترک هایی با ابعاد چندین میکرون است( جیگر21 و کوک22، 1979 ). بریس23 ( 1961 ) و هوک24 ( 1965 ) بحث کردند که شکست سنگ ها از مرز دانه ها رخ می دهد و نتیجه گرفتند که ترک های گریفیث در سنگ تقریبا مساوی با ماکزیمم قطر دانه اند [14].
2 – 7 نرخ آزاد سازی انرژی کرنشی ( G )
(2 – 20 ) (πσ^2 a)/E^’ =2γ_s
سمت چپ رابطه ( 2 – 20 ) انرژی الاستیک بر واحد سطح ترک را نشان می دهد این انرژی برای توسعه ترک موجود است این یک پارامتر خیلی مهم تعریف شده است که نرخ رها سازی انرژی کرنشی یا نیروی محرک ترک نامیده شده که با G به افتخار گریفیث نشان داده شده است. بنابراین یک عبارت برای نرخ رهاسازی انرژی کرنشی G می تواند توسط رابطه (2 – 21 ) داده شود.
(2 – 21 ) G= (∂U_c)/∂a=(πσ^2 a)/E^’
از رابطه ( 2 – 22 ) این واضح است که برای یک جابجایی ثابت G به عنوان انرژی کرنشی الاستیک بر واحد طول ترک یا جلوی ترک تعریف شده است. اما به طور کلی G به عنوان مشتق انرژی کرنشی رها شده نسبت به مساحت ترک به جای طول ترک تعریف می شود اگر چه به واسطه سادگی ترک های صفحه ای در صفحه با ضخامت واحد (B=1 ) فرض شده اند. معمولا این مناسب تر است تا کمیت G را ا ز رابطه زیر محاسبه کنیم[14].
(2 – 22 ) G = 1/2 p^2 dλ/da
که :
P : باری که اعمال می شود
a : طول ترک
λ : انطباق تعریف شده به عنوان جابجایی بار نقطه بر واحد بار.
2 – 8 مقاومت ترک ( R )
در رابطه ( 2 – 20 )، سمت راست انرژی الاستیک سطحی، سطح ترک را نشان می دهد. این انرژی مورد نیاز برای افزایش توسعه ترک است و اندازه ای از مقاومت ترک R است که به صورت زیر تعریف می شود.
( 2 – 23 ) R= 〖∂U〗_c/∂a=2γ_s
نشان داده شده که R مستقل از طول ترک a است اما تابعی از توسعه ترک ∆a است [14].
2 – 9 مقاومت ترک یا منحنی R
در قسمت قبل مقاومت ترک به عنوان دو برابر انرژی سطحی مخصوص تعریف شده است یعنی R=2γ_s . در شرایط بحرانی R مساوی با G_s است. این تنها برای مواد شکننده الاستیک خطی معتبر است. برای تاثیر پلاستیسیته نوک ترک، یک انرژی سطحی پلاستیک γ_p پراکنده شده در طول توسعه ترک باید به γ_s اضافه شود ( ایروین، 1948 , اروان، 1994) در این مورد G_s=R=2(γ_s+ γ_p )=2γ_eff. به ویژه اگر γ_p ≫ γ_s ، γ_s می تواند نادیده گرفته شود و مقاومت ترک فقط شامل تنها انرژی پلاستیک پراکنده شده در طول تشکیل منطقه پلاستیک در فلزات یا FPZ در سنگ ها است. در این موارد زیاد قطعی نیست که آغازش ترک در یک مقدار ثابت G_s اتفاق می افتد چون R در طول گسترش ترک تغییر می کند. در واقع R ( و از این رو G_s ) فقط برای شرایط کرنش صفحه ای ثابت است. به عنوان مثال برای مد I شکست تحت کرنش صفحه ای ، G_Ic ثابت است و آغازش ترک اتفاق می افتد وقتی که:
G_IC=R
که G_Ic تعریف می شود به صورت زیر:
( 2 – 24 ) G_IC= (σ_f^2 a)/E یا σ_F= √((E G_Ic)/πa)
چون G_Ic یک ثابت مواد مستقل از طول ترک a است ، نمودار a – G_Ic باید یک خط مستقیم افقی باشد همان طور که در شکل(2 – 2 ) نشان داده شده است. به علاوه با توجه به رابطه ( 2 – 24 ) طول ترک اولیه بزرگتر a ، منجر به تنش شکست پایین تر σ_F می شود. این همچنین می تواند از شکل( 2 – 3 ) دیده شود[14] .

شکل 2 – 2 : نمایش نموداری از شرایط آغازش ترک برای مد یک ترک خوردگی تحت تنش صفحه ای[14]
2 – 9 – 1 مفهوم منحنی R
بیان شده که مقدار ثابت R فقط برای شرایط کرنش صفحه ای بدست آمده است در غیر اینصورت R با افزایش طول ترک در طول رشد ترک ∆a ، تغییر می کند. همچنین نشان داده شده که R افزایش می یابد همچنان که که ترک از طول ترک اولیه a_i رشد می یابد که این نشان می دهد که R تابعی از افزایش طول ترک ∆a به جای طول ترک اولیه a_i است همچنان که در بالا نشان داده شده است. بر عکس R ، G تابعی از a_i است. وابستگی R به ∆a توسط نمودار R توصیف شده که نشان می دهد تغییر مقاومت ترک را با رشد ترک همچنان که ترک انتشار می یابد.
کرفت25 و همکارانش ( 1961 ) پیشنهاد کردند که منحنی R باید یک شکل منحصر بفرد برای مواد داده شده مستقل از طول اولیه ترک ، هندسه نمونه و شرایط مرزی داشته باشد. شکل ( 2 – 4 ) منحنی R بر حسب G را نشان داده است. در حال تعادل رشد ترک رابطه بین G و R به شکل زیر است:
G(a)=R(∆a) ( 2 – 25 )
که a طول ترک حاضر است که مساوی با طول ترک اولیه a_i به علاوه افزایش طول ترک ∆a است. یعنی a= a_i+ ∆a . موقعی که تنش در σ_i نگه داشته می شود توسعه ترک اتفاق خواهد افتاد اما در این لحظه توسعه پایدار است چون σ_i کوچکتر از σ_f است که درآن سطح توسعه ناپایدار ترک اتفاق می افتد ( شکل 2 – 3 را ببینید). در



قیمت: تومان

دسته بندی : پایان نامه ارشد

پاسخ دهید